Question

4．有一顆X行星，距地球很遠(yuǎn)，為了探測該行星，發(fā)射了一顆繞該星球做圓運(yùn)動的衛(wèi)星，其運(yùn)行平面與地球上的觀測站在同一平面內(nèi)（不考慮地球的自轉(zhuǎn)），在地球上的觀測站發(fā)現(xiàn)：①該衛(wèi)星的運(yùn)行速率為v；②t₀時(shí)間內(nèi)可觀測到，大約t₀時(shí)間內(nèi)不可見．
（1）該X行星的質(zhì)量M是多少？
（2）該星球表面的重力加速度g多大？
（3）在高度不太大時(shí)（數(shù)百米高），測得物體在該星球表面下落時(shí)，所受大氣阻力與速度平方成正比（F=kv²）．假設(shè)我們發(fā)射一宇宙飛船，釋放的登陸器（質(zhì)量為m）懸停在距該星球表面h（h數(shù)十米高，遠(yuǎn)小于X行星的半徑）處，讓登陸器先以加速度等于該星球表面的重力加速度g勻加速下落$\frac{h}{2}$，然后開啟噴氣發(fā)動機(jī)向下噴氣，使之勻減速下落，著地速度恰好為零，試求發(fā)動機(jī)對登陸器所做的功W及登陸器從自由下落到著地的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出周期，根據(jù)線速度公式求出半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力；
（2）根據(jù)萬有引力等于重力列式求解重力加速度；
（3）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動位移時(shí)間公式求出下落的時(shí)間，根據(jù)速度公式求出下落$\frac{h}{2}$的速度，空氣阻力f=kv²，且又是勻加速運(yùn)動，阻力與位移是線性關(guān)系，畫出（v²-x及f-x）圖象，整個(gè)過程克服阻力的功就是f-x圖象中的面積，再結(jié)合動能定理列式求解即可．

解答 解：（1）由題意得：T=2t₀
線速度v=$\frac{2πR}{T}$，
解得：R=$\frac{v{t}_{0}}{π}$
根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{{v}^{2}R}{G}=\frac{{v}^{3}{t}_{0}}{πG}$
（2）根據(jù)$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{πv}{{t}_{0}}$
（3）登陸器先以加速度等于該星球表面的重力加速度g勻加速下落$\frac{h}{2}$，則有：
$\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{h}{g}}$，
此時(shí)的速度為：${v}_{1}=g{t}_{1}=\sqrt{\frac{πvh}{{t}_{0}}}$
從自由下落到著地的時(shí)間為：t=2${t}_{1}=2\sqrt{\frac{h{t}_{0}}{πv}}$
因?yàn)榭諝庾枇�f=kv²，且又是勻加速運(yùn)動，所以由${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=2ax$可知，

阻力與位移是線性關(guān)系，其圖象（v²-x及f-x）如圖所示：
所以整個(gè)過程克服阻力的功就是f-x圖象中的面積，則有：${W}_{f}=\frac{1}{2}k{{v}_{1}}^{2}h=\frac{πkv{h}^{2}}{2{t}_{0}}$
設(shè)發(fā)動機(jī)做的功為W，根據(jù)動能定理得：mgh-W_f+W=0
解得：$W=\frac{πhv}{{t}_{0}}（\frac{kh}{2}-m）$
答：（1）該X行星的質(zhì)量M為$\frac{{v}^{3}{t}_{0}}{πG}$；
（2）該星球表面的重力加速度g為$\frac{πv}{{t}_{0}}$；
（3）發(fā)動機(jī)對登陸器所做的功W為$\frac{πhv}{{t}_{0}}（\frac{kh}{2}-m）$，登陸器從自由下落到著地的時(shí)間t為$2\sqrt{\frac{h{t}_{0}}{πv}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式、運(yùn)動學(xué)基本公式以及動能定理的直接應(yīng)用，知道在星球表面萬有引力等于重力，第三問要求同學(xué)們能畫出（v²-x及f-x）圖象，結(jié)合整個(gè)過程克服阻力的功就是f-x圖象中的面積求解，難度較大．