Question

9．在一次抗洪救災(zāi)工作中，一架直升機A用長H=50m的懸索（重力可忽略不計）系住一質(zhì)量m=50kg的被困人員B，直升機A和被困人員B以v0=10m/s的速度一起沿水平方向勻速運動，如圖甲所示．某時刻開始收懸索將人吊起，在5s時間內(nèi)，A、B之間的豎直距離以l=50-t²（單位：m）的規(guī)律變化，取g=10m/s²．求：
（1）求這段時間內(nèi)懸索對被困人員B的拉力大��；
（2）求在5s末被困人員B的速度大小及位移大小；
（3）直升機在t=5s時停止收懸索，但發(fā)現(xiàn)仍然未脫離洪水圍困區(qū)，為將被困人員B盡快運送到安全處，飛機在空中旋轉(zhuǎn)后靜止在空中尋找最近的安全目標(biāo)，致使被困人員B在空中做圓周運動，如圖乙所示．此時懸索與豎直方向成37°角，不計空氣阻力，求被困人員B做圓周運動的線速度以及懸索對被困人員的拉力．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A、B之間的豎直距離的表達(dá)式得出被困人員向上運動的加速度，根據(jù)牛頓第二定律求出拉力的大小．
（2）在5s內(nèi)，被困人員在水平方向上做勻速直線運動，在豎直方向上做勻加速直線運動，分別求出水平方向和豎直方向上的速度和位移，根據(jù)平行四邊形定則求出合速度和合位移．
（3）根據(jù)合外力提供圓周運動的向心力求出線速度的大小和繩子的拉力大�。�

解答 解：（1）在豎直方向上被困人員的位移y=H-l=50-（50-t²）=t²，
由此可知，被困人員在豎直方向上做初速度為零、加速度a=2 m/s²的勻加速直線運動
由牛頓第二定律可得F-mg=ma
解得懸索的拉力F=m（g+a）=50×12N=600 N
（2）被困人員5 s末在豎直方向上的速度為v_y=at=10 m/s，
合速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{100+100}$m/s=10$\sqrt{2}$ m/s，
豎直方向上的位移y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}×2×25m$=25 m
水平方向的位移x=v₀t=10×5m=50 m，
合位移s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2500+625}$m=25$\sqrt{5}$ m．
（3）t=5 s時懸索的長度l′=50-y=25 m，
旋轉(zhuǎn)半徑r=l′sin 37°，由mgtan 37°=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得v′=$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$ m/s，
F_Tcos 37°=mg，解得F_T=$\frac{mg}{cos37°}$=$\frac{500}{0.8}$N=625 N．
答：（1）這段時間內(nèi)懸索對被困人員B的拉力大小為600N．
（2）在5s末被困人員B的速度大小為$10\sqrt{2}m/s$，位移大小為25$\sqrt{5}$ m．
（3）被困人員B做圓周運動的線速度為$\frac{15}{2}$$\sqrt{2}$ m/s，懸索對被困人員的拉力為625N．

點評 本題考查應(yīng)用牛頓定律求解力的問題，關(guān)鍵是正確地進行受力分析，以及知道做勻速圓周運動，靠合力提供向心力．