Question

【題目】如圖所示，傾角 θ=37°的光滑且足夠長(zhǎng)的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)輪半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪 D，質(zhì)量均為m=1kg 的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240N/m 的輕彈簧連接，物體 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板 P 擋住。用一不可伸長(zhǎng)的輕繩使物體 A 跨過定滑輪與質(zhì)量為 M 的小環(huán) C 連接，小環(huán) C 穿過豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán) C 位 于 Q 處，繩與細(xì)桿的夾角 α=53°，且物體 B 對(duì)擋板 P 的壓力恰好為零。圖中 SD 水平且長(zhǎng)度 為 d=0.2m，位置 R 與位置 Q 關(guān)于位置 S 對(duì)稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行�，F(xiàn) 讓環(huán) C 從位置 R 由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s2。

求：（1）小環(huán) C 的質(zhì)量 M；

（2）小環(huán) C 通過位置 S 時(shí)的動(dòng)能 Ek及環(huán)從位置 R 運(yùn)動(dòng)到位置 S 的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功 WT；

（3）小環(huán) C 運(yùn)動(dòng)到位置 Q 的速率 v.

Answer 1

【答案】（1）0.72kg（2）0.3J（3）2m/s

【解析】（1）先以AB組成的整體為研究對(duì)象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N

以C為研究對(duì)象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：Tcos53°=Mg

代入數(shù)據(jù)得：M=0.72kg

（2）由題意，開始時(shí)B恰好對(duì)擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)；產(chǎn)生B沿斜面方向的受力：F1=mgsinθ=1×10×sin37°=6N

彈簧的伸長(zhǎng)量：△x1＝mgsinθ／Ｋ＝0.025m

當(dāng)小環(huán) C 通過位置 S 時(shí)Ａ下降的距離為ｘＡ＝＝０.05m

此時(shí)彈簧的壓縮量△x2=ｘＡ-△x1=0.025m

由速度分解可知此時(shí)A的速度為零,所以小環(huán)C從R運(yùn)動(dòng)到S的過程中,初末態(tài)的彈性勢(shì)能相等,對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒有:Mgdcotα+mgｘＡsinθ=Ek

解得: Ek=1.38J

環(huán)從位置 R 運(yùn)動(dòng)到位置 S 的過程中,由動(dòng)能定理可知: WT+ Mgdcotα= Ek

解得: WT=0.3J

⑶（5分）環(huán)從位置 R 運(yùn)動(dòng)到位置 Q 的過程中,對(duì)于小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

Mg.（2dcotα）= vA =vcosα

兩式聯(lián)立可得: v=2m/s