Question

15．河寬為d，水流速為v₁，小汽艇在靜水中航行速度為v₂，且v₁＜v₂，如果小汽艇航向與河岸成θ角，斜向上游，求：
（1）它過(guò)河需要多少時(shí)間？
（2）到達(dá)對(duì)岸的位置．
（3）如果它要以最短時(shí)間渡河，航向應(yīng)如何？
（4）如果它要直達(dá)正對(duì)岸，航向又怎樣．

Answer 1

分析 汽艇渡河問(wèn)題分析
（1）汽艇的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是水流的運(yùn)動(dòng)和汽艇相對(duì)靜水的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．
（2）三種速度：v₂（汽艇在靜水中的速度）、v₁（水流速度）、v（汽艇的實(shí)際速度）．
（3）兩種常見(jiàn)情景
①過(guò)河時(shí)間最短：汽艇頭正對(duì)河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短，t_短=$\frac9hsijar{{v}_{1}}$ （d為河寬）．
②過(guò)河路徑最短（v₂＞v₁時(shí)）：合速度垂直于河岸時(shí)，航程最短，s_短=d．汽艇頭指向上游與河岸夾角為θ，其中cosθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

解答 解：（1）汽艇的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)運(yùn)動(dòng)組成，設(shè)渡河的時(shí)間為t，將v₁、v₂沿水流方向和垂直河岸方向分解，則水流方向：v_x=v₁-v₂•cosθ
垂直河岸方向：v_y=v₂•sinθ
渡河時(shí)間由v_y決定，與無(wú)關(guān)v_x無(wú)關(guān)，
t=$\fracnztmnc9{{v}_{y}}$=$\fracjsvxzcn{{v}_{2}sinθ}$；
（2）汽艇沿著水流方向的位移為s=v₁t=$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
那么到達(dá)對(duì)岸的位置偏向下游位移為$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
（3）要使渡河時(shí)間最短，則當(dāng)θ=90°，即汽艇頭垂直河岸開(kāi)行，t_min=$\fracfjmmxzb{{v}_{2}}$；
（4）要使位移最小，只有汽艇合運(yùn)動(dòng)垂直河岸，汽艇頭應(yīng)斜向上游成β角，
cosβ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
解得：β=arccos$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$
答：（1）它過(guò)河需要$\fracjnmoibm{{v}_{2}sinθ}$；
（2）到達(dá)對(duì)岸的位置偏向下游位移為$\frac{{v}_{1}d}{{v}_{2}sinθ}$；
（3）如果它要以最短時(shí)間渡河，航向垂直河岸；
（4）如果它要直達(dá)正對(duì)岸，航向偏向上游夾角為arccos$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 求解小船渡河問(wèn)題有兩類(lèi)：一是求最短渡河時(shí)間，二是求最短渡河位移．無(wú)論哪類(lèi)都必須明確以下四點(diǎn)：
（1）解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確區(qū)分分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)，船的航行方向也就是船頭指向，是分運(yùn)動(dòng)．船的運(yùn)動(dòng)方向也就是船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向，是合運(yùn)動(dòng)，一般情況下與船頭指向不一致．
（2）運(yùn)動(dòng)分解的基本方法，按實(shí)際效果分解，一般用平行四邊形定則按水流方向和船頭指向分解．
（3）渡河時(shí)間只與垂直河岸的船的分速度有關(guān)，與水流速度無(wú)關(guān)．
（4）求最短渡河位移時(shí)，根據(jù)船速v_船與水流速度v_水的大小情況用三角形法則求極限的方法處理