Question

14．如圖所示，半徑R=0.2m的光滑四分之一圓軌道MN豎直固定放置，末端N與一長L=0.8m的水平傳送帶平滑相切，水平銜接部分無機械能損失，傳動輪的輪半徑很小，傳送帶以恒定的速度ν₀作順時針運動．傳送帶上表面離地面的高度h=1.25m，其右側(cè)地面上有一直徑D=0.5m的圓形洞，洞口最左端的A點離傳送帶右端的水平距離x=1m，B點在洞口的最右端．現(xiàn)使質(zhì)量為m=0.5kg的小物塊從M點由靜止開始釋放，經(jīng)過傳送帶后做平拋運動，小物體視為質(zhì)點，不計空氣阻力，傳送帶與小物塊之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．g取10m/s²．求：
（1）求到達(dá)圓軌道末端N時小物塊對軌道的壓力大小和方向；
（2）若ν₀=3m/s，求小物塊在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）若要使小物塊能落入洞中，求傳送帶的速度ν₀應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出物塊到達(dá)N點的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出軌道的支持力，再求出物塊對軌道的壓力．
（2）由牛頓第二定律求出物塊的加速度，然后應(yīng)用運動學(xué)公式求出物塊與傳送帶的相對位移，再求出摩擦力做功產(chǎn)生的內(nèi)能．
（3）物塊離開傳送帶后做平拋運動，應(yīng)用平拋運動規(guī)律求出速度的臨界值，然后確定速度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)小滑塊在N點的速度為v_N，從M到N機械能守恒，由機械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_N²，
解得：v_N=2m/s，
在N處，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$，
解得支持力：F_N=15N，
由牛頓第三定律得壓力大小：F_N′=15N，方向：豎直向下；
（2）若傳送帶v₀=3m/s，則小滑塊先要加速運動，對小滑塊有：μmg=ma，
解得：a=5m/s²
從2m/s到3m/s，滑塊位移：x=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{N}^{2}}{2a}$=0.5m＜0.8m，
時間：t=$\frac{{v}_{0}-{v}_{N}}{a}$=0.2s之后相對靜止；
在滑塊運動0.5m這段時間內(nèi)，傳送帶位移：x=v₀t=0.6m
相對位移△x=0.6m-0.5m=0.1m，內(nèi)能：Q=μmg△x=0.25J；
（3）由平拋運動規(guī)律，有：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：t=0.5s
若小物體剛好從A點進(jìn)入洞中則要求初速度v₁=$\frac{x}{t}$=2m/s
若小物體剛好從B點進(jìn)入洞中則要求初速度v₂=$\frac{x+D}{t}$=3m/s
結(jié)合第（2）問，分析可知，物體要落入洞中，傳送帶速度應(yīng)滿足的條件是2m/s＜v₀＜3m/s；
答：（1）到達(dá)圓軌道末端N時小物塊對軌道的壓力大小為15N，方向：豎直向下；
（2）若ν₀=3m/s，小物塊在傳送帶上因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能為0.25J；
（3）若要使小物塊能落入洞中，傳送帶的速度ν₀應(yīng)滿足的條件是2m/s＜v₀＜3m/s．

點評 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體的運動過程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用機械能守恒定律、牛頓定律、運動學(xué)公式與平拋運動功率可以解題．