Question

7．如圖所示，光滑水平面AB=x，其右端B處國家利益一個半徑為R的豎直光滑半軌道．質(zhì)量為m的質(zhì)點靜止在A處．若用水平恒力F將質(zhì)點推到B處后撤去，質(zhì)點將沿半圓軌道運動到C處并恰好下落到A處．求：
（1）在整個運動過程中水平恒力F對質(zhì)點做的功；
（2）x取何值時，在整個運動過程中，水平恒力F對質(zhì)點做功最少？最小功為多少？
（3）x取何值時，在整個運動過程中，水平恒力F最小？最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點離開C點時做平拋運動，已知水平位移和豎直位移，由分位移公式求出質(zhì)點經(jīng)過C點的速度．對A到C的過程，運用功能原理求恒力F做的功．
（2）水平恒力F對質(zhì)點做功最少時，質(zhì)點通過C點的速度最小，且恰好由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和數(shù)學(xué)知識求解．
（3）根據(jù)F的表達(dá)式，運用數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）質(zhì)點做平拋運動回到A點，設(shè)質(zhì)點經(jīng)過C點時速度為v_C，則有：
x=v_Ct，
2R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v_C=$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
根據(jù)功能原理可得A到C做功恒力做功為：
W_F=2mgR+$\frac{1}{2}$mv_C²=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$
（2）由（1）知做功最小時v_C應(yīng)取最小值，即恰好通過C點，有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
則得 v_C=$\sqrt{Rg}$
結(jié)合v_C=$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$得：$\sqrt{Rg}$=$\frac{x}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
解得：x=2R
將x=2R代入，得：W_F=$\frac{5}{2}$mgR
（3）由（2）知Fx=W_F，得 F=$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$$\frac{1}{x}$=mg（$\frac{2R}{x}$+$\frac{x}{8R}$）
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可得：當(dāng)$\frac{2R}{x}$=$\frac{x}{8R}$，即x=4R時力F有最小值，且最小力為 F=mg．
答：
（1）在整個運動過程中水平恒力F對質(zhì)點做的功是$\frac{mg（16{R}^{2}+{x}^{2}）}{8R}$；
（2）x取2R時，在整個運動過程中，水平恒力F對質(zhì)點做功最少是$\frac{5}{2}$mgR．
（3）x取4R時，在整個運動過程中，水平恒力F最小值為mg．

點評 本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點的最小速度為$\sqrt{gR}$，由動能定理求解F做功，再運用數(shù)學(xué)不等式知識求解極值．