Question

6．如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環(huán)，棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg（k＞1）．斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W．
（2）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，棒運動的總路程x．

Answer 1

分析 （1）棒第一次與地面碰撞后，速度方向變?yōu)橄蛏�，環(huán)的速度方向向下，二者存在相對運動，相互間存在滑動摩擦力：棒受重力、向下的滑動摩擦力，合力方向向下；環(huán)受重力、向上的滑動摩擦力，合力方向向上．所以二者都做勻減速，當棒再次下落時，由于棒的速度小于環(huán)的下落速度，所以環(huán)的受力情況與之前相同，仍向下做勻減速運動．整個過程中能量的損失都是由于摩擦力對物體做的功，根據(jù)能量的守恒可以較簡單的求得摩擦力對環(huán)及棒做的總功；
（2）棒運動的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運動學公式可以求得上升的高度．

解答 解：（1）設(shè)環(huán)相對棒滑動距離為l
根據(jù)能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
解得$l=\frac{2H}{K-1}$
摩擦力對棒及環(huán)做的總功為：W=-kmgl
聯(lián)立解得：$W=-\frac{2KmgH}{K-1}$；
（2）棒第一次彈起經(jīng)過t₁時間，與環(huán)達到相同速度v′₁
環(huán)的速度：v′₁=-v₁+a_環(huán)t₁
棒的速度：v′₁=v₁+a_棒t₁
環(huán)的位移：${h_{環(huán)1}}=-{v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_環(huán)}t_1^2$
棒的位移：${h_{棒1}}={v_1}{t_1}+\frac{1}{2}{a_棒}t_1^2$
環(huán)第一次相對棒的位移為：${x_1}={h_{環(huán)1}}-{h_{棒1}}=-\frac{2H}{k}$
棒環(huán)一起下落至地：$v_2^2-v_1^{/^2}=2g{h_{棒1}}$
解得：${v_2}=\sqrt{\frac{2gH}{k}}$
同理，環(huán)第二次相對棒的位移為${x_2}={h_{環(huán)2}}-{h_{棒2}}=-\frac{2H}{k^2}$
…${x_n}=-\frac{2H}{k^n}$
環(huán)相對棒的總位移為：x=x₁+x₂+…+x_n
由數(shù)學規(guī)律可知：
x=$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$
答：（1）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，摩擦力對環(huán)及棒做的總功W為$\frac{2kmgH}{k-1}$
（2）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，棒運動的總路程為$H+\frac{2k}{{{k^2}-1}}H$

點評 本題考查功能關(guān)系及力與運動的關(guān)系，只要能正確受力分析，結(jié)合當速度與加速度方向相同時做加速運動，方向相反時做減速運動即可求解．