Question

12．如圖，半徑R=1m的$\frac{3}{4}$圓形光滑管道ABC豎直放在水平地面上，C為最高點，B為最低點，管道內(nèi)放一可在管道內(nèi)自由移動的小球，現(xiàn)對管道施加一水平向右的恒力F，小球恰好可以在P點相對管道靜止，此時過P點的半徑OP與豎直方向的夾角為θ=30°，現(xiàn)再用這一裝置將小球鎖定在B點，管道仍在恒力F作用下從靜止開始沿水平地面向右做勻加速運(yùn)動，經(jīng)過一段時間后管道遇一障礙突然停止運(yùn)動，同時解除鎖定，小球能通過管道的A點，重力加速度為g=10m/s²，小球及管道大小不計．求：
（1）恒力作用下圓形管道運(yùn)動的加速度；
（2）圓形管道從開始運(yùn)動到突然停止過程中運(yùn)動距離的可能值．

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，由力的平行四邊表及牛頓第二定律可求得管道的加速度；
（2）當(dāng)管道停止時，小球沿半徑方向的速度為零，沿切線的方向速度不變；由運(yùn)動的合成與分解求得徑向速度； 此后由機(jī)械能守恒定律及平拋運(yùn)動的規(guī)律可求得小球可能的運(yùn)動距離

解答 解：（1）小球受力如圖，由力的平行四邊形定則及牛頓第二定律得：
mgtanθ=ma；
解得：a=gtanθ；
即為恒力作用下的圓形管道運(yùn)動的加速度；
（2）設(shè)圓形管道在運(yùn)動過程中突然停止前進(jìn)的速度為v，由勻變速直線運(yùn)動公式得：v²=2as；
圓形管道停止時，小球沿管道半徑方向的速度變?yōu)榱�，沿切線方向的速度保持不變，對速度v沿切向和徑向進(jìn)行分解，則小球速度變?yōu)関′=vcosθ；
小球能運(yùn)動到管道右側(cè)圓心上方至最高點C之間的區(qū)域則可返程到達(dá)A點，或從C點飛出做平拋運(yùn)動到達(dá)A點；
若小球能運(yùn)動到管道右側(cè)圓心上方至最高點C之間的區(qū)域，則由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m（vcosθ）²=mg（Rcosθ+h），
其中0≤h＜R
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$
若小球從C點飛出做平拋運(yùn)動到達(dá)A點，則由機(jī)械能守恒及平拋運(yùn)動的規(guī)律得：
R=$\frac{1}{2}$gt²，R=v_Ct
$\frac{1}{2}$m（vcosθ）²=mgR（1+cosθ）+$\frac{1}{2}$mv_c²
聯(lián)立以上相關(guān)各式得：s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$
圓形管道從開始運(yùn)動到突然停止過程中運(yùn)動距離的可能值為：$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$或s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$
答：（1）恒力作用下圓形管道運(yùn)動的加速度為gtanθ；
（2）圓形管道從開始運(yùn)動到突然停止過程中運(yùn)動距離的可能值為$\frac{R}{sinθ}$≤s＜$\frac{2R（1+cosθ）}{sin2θ}$或s=$\frac{R（5+4cosθ）}{2sin2θ}$．

點評 本題考查機(jī)械能守恒及平拋運(yùn)動的規(guī)律，注意在解題中要正確應(yīng)用運(yùn)動的合成與分解，明確在運(yùn)動中速度的突變．