Question

3．如圖所示，一個人用一根只能承受46N拉力的繩子，拴著一個質量為1kg的小球，在豎直平面內做圓周運動，已知圓心O離地面h=10m，轉動中小球在最低點時繩子恰好斷了（g取10m/s²）求：
（1）繩斷后，繩子多長時小球拋出的射程最大？
（2）最大射程是多少．

Answer 1

分析 繩子斷時，繩子的拉力恰好是46N，對小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律和向心力的公式可以求得速度與繩長的關系式，再根據(jù)平拋運動的規(guī)律求最大射程．

解答 解：設繩長為R．對小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：v=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$
繩斷后，小球做平拋運動，落地時射程最大，設所用時間為t．則有：
h-R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$
射程為：x=vt=$\sqrt{\frac{（F-mg）R}{m}}$•$\sqrt{\frac{2（h-R）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$
根據(jù)數(shù)學知識得知，當R=h-R，即R=$\frac{1}{2}$h=5m，射程x最大，則最大射程為：
x_max=$\sqrt{\frac{2（F-mg）R（h-R）}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×（46-10）×5×5}{1}}$m=30$\sqrt{2}$m
答：（1）繩斷后，繩子5m長時小球拋出的射程最大．
（2）最大射程是30$\sqrt{2}$m．

點評 解決本題的關鍵要抓住繩斷的臨界條件，利用圓周運動和平拋運動的規(guī)律得到射程的表達式，結合數(shù)學知識求解極大值．