Question

5．一架在海疆上空勻速巡航的飛機(jī)計(jì)劃投彈轟炸侵入海疆的敵艦．飛機(jī)距離海面高度為h，以速度v₁勻速飛行，敵艦以速度v₂同向航行，v₁＞v₂，飛機(jī)與敵艦航線在同一豎直平面內(nèi)．不計(jì)炸彈受到的空氣阻力．
（1）為使從飛機(jī)上釋放的炸彈能擊中敵艦，釋放炸彈時(shí)，飛行員到敵艦的視線的俯角（即飛機(jī)和敵艦連線與水平方向夾角）應(yīng)為多大？（以反正切表示出俯角）；
（2）飛行員從釋放炸彈到聽到敵艦爆炸聲，經(jīng)歷的時(shí)間是多少？已知爆炸聲的傳播速度為v₃，v₃＞v₁，設(shè)炸彈擊中敵艦后敵艦立即爆炸；
（3）若釋放炸彈時(shí)，敵艦剛好關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，已知敵艦關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后所受阻力恒為f，敵艦質(zhì)量為m，飛行員在距離敵艦水平距離為多少時(shí)投放炸彈炸彈，炸彈能擊中敵艦？

Answer 1

分析 （1）炸彈釋放后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間和水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系求出飛行員到敵艦的視線的俯角的正切值即可；
（2）先求出擊中敵艦時(shí)，敵艦到飛行員的距離，再求出聲音傳到飛行員的時(shí)間，而飛行員從釋放炸彈到聽到敵艦爆炸聲經(jīng)歷的時(shí)間為此時(shí)間加上炸彈飛行的時(shí)間；
（3）敵艦關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求出敵艦運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最長(zhǎng)位移，再分?jǐn)撑灡粨糁袝r(shí)是靜止還是運(yùn)動(dòng)兩種情況分析即可求解．

解答 解：（1）從釋放炸彈到擊中敵艦的過(guò)程：
炸彈平拋時(shí)間 $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
飛機(jī)水平位移${s}_{1}={v}_{1}t={v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
敵艦水平位移  ${s}_{2}={v}_{2}t={v}_{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
可得tanθ=$\frac{h}{{s}_{1}-{s}_{2}}=\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}$．
所以θ=$arctan[\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}]$．
（2）設(shè)敵艦爆炸聲傳到飛機(jī)的時(shí)間為t′，則有：$（{v}_{3}t{′）}^{2}=（{v}_{1}t′）^{2}+{h}^{2}$，
可得$t′=\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
所以飛行員從釋放炸彈到聽到敵艦爆炸聲經(jīng)歷的時(shí)間為：
t_總=t+t′=$\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
（3）敵艦?zāi)軌蜻\(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為${t}_{1}=\frac{{v}_{2}}{\frac{f}{m}}=\frac{m{v}_{2}}{f}$，最長(zhǎng)位移${s}_{3}=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2a}=\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．
a．t≥t₁，炸彈擊中敵艦時(shí)，敵艦已停止運(yùn)動(dòng)，△s=v₁t-s₃=${v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．
b．t＜t₁，炸彈擊中敵艦時(shí)，敵艦運(yùn)動(dòng)距離為：${s}_{4}={v}_{2}t-\frac{1}{2}a{t}^{2}$=${v}_{2}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{fh}{mg}$．
$△s={v}_{1}t-{s}_{4}=（{v}_{1}-{v}_{2}）\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{fh}{mg}$．
答：（1）飛行員到敵艦的視線的俯角（即飛機(jī)和敵艦連線與水平方向夾角）應(yīng)為$arctan[\frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}]$．
（2）飛行員從釋放炸彈到聽到敵艦爆炸聲，經(jīng)歷的時(shí)間是$\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{\sqrt{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}}$．
（3）t≥t₁，飛行員在距離敵艦水平距離為${v}_{1}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{m{{v}_{2}}^{2}}{2f}$．t＜t₁，飛行員在距離敵艦水平距離為$（{v}_{1}-{v}_{2}）\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{fh}{mg}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，抓住水平位移的關(guān)系列式求解，注意幾何關(guān)系在解題中的應(yīng)用，難度適中．