Question

12．粗糙水平面放置一質(zhì)量為m=1.0kg的物體，受到與水平方向的夾角為θ、大小F=4.0N的外力作用，θ可在圖示平面內(nèi)從0°～180°范圍內(nèi)變化．為研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可通過如圖裝置進(jìn)行DIS實(shí)驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)進(jìn)行研究．重力加速度g取10m/s²．

（1）取θ=0°，通過傳感器收集到位移x與時(shí)間平方t²關(guān)系如圖2所示，求物體與水平面間的動(dòng)摩擦因素μ；
（2）在保持物體m向右運(yùn)動(dòng)的過程中，改變?chǔ)鹊娜≈�，通過傳感器測(cè)得θ與物體加速度a的關(guān)系如圖3所示，求圖示中的a₁、a₂、a₃的數(shù)值分別為多少？

Answer 1

分析 （1）取θ=0°時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移時(shí)間公式和圖象的信息結(jié)合，求出加速度，再由牛頓第二定律求解μ．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解a₁，并求解a₂、a₃的數(shù)值．

解答 解：（1）取θ=0°時(shí)，物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由位移時(shí)間公式得：
  x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)知，圖2的斜率等于$\frac{1}{2}a$，而斜率k=1，解得 a=2m/s²．
由牛頓第二定律得：
  F-μmg=ma
解得 μ=0.2．
（2）由圖知θ在0-$\frac{π}{2}$內(nèi)，當(dāng)θ=θ₁時(shí)a取得最大值．
根據(jù)牛頓第二定律得：
  Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma
可得 a=$\frac{F（cosθ+μsinθ）}{m}$-μg=4（cosθ+0.2sinθ）-2
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得：a=4$\sqrt{1+0．{2}^{2}}$sin（θ+α）-2，式中 tanα=5
可知a的最大值為 a₁=4$\sqrt{1+0．{2}^{2}}$-2≈2.08m/s²．
當(dāng)$θ=\frac{π}{2}$時(shí)，由牛頓第二定律得：-μ（mg-F）=ma₂，解得a₂=-1.2m/s²．
當(dāng)θ=π時(shí)，有-μ（mg+F）=ma₃，解得a₃=-2.8m/s²．
答：
（1）物體與水平面間的動(dòng)摩擦因素μ為0.2；
（2）圖示中的a₁、a₂、a₃的數(shù)值分別為2.08m/s²、-1.2m/s²、-2.8m/s²．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要讀圖能力，把握?qǐng)D象的信息，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值問題．