Question

在地面上足夠高的地方，存在一個(gè)高度為的“相互作用區(qū)”（如圖中劃有虛線的部分）一個(gè)小圓環(huán)P套在一根均勻直桿Q上，P和Q的質(zhì)量均為=0.1kg，開始時(shí)P處于Q的最下端，Q豎直放置，P距“相互作用區(qū)域”的高度為，讓P和Q一起從靜止開始下落。求：

⑴當(dāng)P進(jìn)入“相互作用區(qū)域”時(shí)，若P受到一個(gè)方向向上的恒力的作用，而Q不受影響。設(shè)P、Q間的滑動(dòng)摩擦力，問要使環(huán) P不從桿Q上滑落，桿Q至少要長？

⑵若“相互作用區(qū)域”和桿Q都足夠長，當(dāng)P進(jìn)入“相互作用區(qū)域”時(shí)， P既受到一個(gè)方向向下的恒力作用，同時(shí)也受到一個(gè)水平力（其中，是P的速即時(shí)速度）作用，設(shè)P和Q間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，已知P從進(jìn)入“相互作用區(qū)域”開始，經(jīng)過的時(shí)間剛好達(dá)到最大速度，求其最大速度和此時(shí)Q的速度各是多大？（假設(shè)桿Q在下落過程始終保持豎直，不計(jì)空氣阻力，）

  

Answer 1

（1）0.7m  （2）30m/S   14m/s 

解析:

⑴對P、Q，在沒有進(jìn)入“相互作用區(qū)域”前是相對靜止的，由機(jī)械能守恒得：

    ┅①

    當(dāng)P進(jìn)入“相互作用區(qū)域”后，P受重力、滑動(dòng)摩擦力和豎直向上的恒力作用而作減速向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)其剛離開 “相互作用區(qū)域”時(shí)速度為，同時(shí)Q的速度為，由動(dòng)能定理得： ┅②

P進(jìn)入“相互作用區(qū)域”后，和Q組成的系統(tǒng)隱含合外力為零，動(dòng)量守恒，即有：

┅③

對Q，由動(dòng)能定理得┅④

    因，故P出來后，受到向上的摩擦力，Q受向下的摩擦力，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間兩者達(dá)到共速，分別由動(dòng)量定理得，對P：┅⑤

    對Q：┅⑥

代入已知解①–⑥得，，，

，，，

    設(shè)環(huán)P離開相互作用區(qū)域后在桿Q上滑行的距離為，由于兩者都作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，故可作出兩者的圖如圖3-2所示，則為中的陰影面積值，即

。

   

則要使P不從Q上滑落， Q的長度至少為

。

    ⑵當(dāng)P以進(jìn)入“相互作用區(qū)

域”后，因作用力變了，運(yùn)動(dòng)性質(zhì)也變了，兩者都是變加速運(yùn)動(dòng)，對P，由牛頓第二定律得：

，顯然，當(dāng) 時(shí)，得最大的。

    設(shè)在經(jīng)時(shí)間后Q的速度為，對P、Q組成的系統(tǒng)，豎直方向上由動(dòng)量定理得：

   

代入解得。