Question

11．如圖所示，MPQO為有界的豎直向下的勻強(qiáng)電場（邊界上有電場），電場強(qiáng)度為E=$\frac{mg}{q}$，ACB為光滑固定的半圓形絕緣軌道，軌道半徑為R，O點(diǎn)是圓心，直徑AB水平，A、B為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，AC為$\frac{1}{4}$圓�。�一個(gè)質(zhì)童為m．電荷量為-q的帶負(fù)電小球，從A點(diǎn)正上方高為R處由靜止釋放，從A點(diǎn)沿切線進(jìn)入半圓軌道，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若E′=$\frac{2mg}{q}$，小球從A點(diǎn)正上方離A點(diǎn)至少多高處靜止釋放，才能使小球沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入圓軌道，電場力和重力平衡，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出進(jìn)入圓軌道的速度大小，結(jié)合牛頓第二定律求出在C點(diǎn)所受的彈力，從而得出小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若E′=$\frac{2mg}{q}$，電場力為2mg，抓住最低點(diǎn)臨界狀態(tài)，彈力為零，結(jié)合牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出最小高度．

解答 解：（1）小球進(jìn)入半圓軌道，電場力和重力平衡，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理知，mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，$N=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}=2mg$．
再由牛頓第三定律得，小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為2mg，方向豎直向下．
（2）若$E′=\frac{2mg}{q}$，小球在最低點(diǎn)軌道的作用力為零，小球從A點(diǎn)正上方離A點(diǎn)的高度為H，根據(jù)牛頓第二定律得，
$qE′-mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{c}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，mg（H+R）-qE′R=$\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}-0$，
解得H=$\frac{3R}{2}$，所以H至少為$\frac{3}{2}R$．
答：（1）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為2mg，方向豎直向下．
（2）H至少為$\frac{3}{2}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在電場和重力場中的運(yùn)動(dòng)，綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理、牛頓第二定律等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，需加強(qiáng)這類題型的訓(xùn)練．