Question

18．如圖，半徑R=1.0m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長的粗糙軌道CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點為圓弧軌道的最低點，半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°，將一個質(zhì)量m=1.0kg的物體（視為質(zhì)點）從A點左側高為h=0.8m處的P點水平拋出，恰從A點沿切線方向進入圓弧軌道，已知物體與軌道CD間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物體水平拋出時的初速度大小v₀；
（2）物體經(jīng)過B點時受圓弧軌道支持力大小F_N；
（3）物體在軌道CD上向上運動的最大距離x．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運動，由自由落體運動的規(guī)律求出物體落在A時的豎直分速度，然后應用運動的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過計算分析清楚物體的運動過程，由能量守恒定律求出物體在B點的速度，然后又牛頓第二定律求出物體對圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）先由機械能守恒求出物體在C點的速度，然后由動能定理即可求解．

解答 解：（1）物體在拋出后豎直方向做自由落體運動，豎直方向：${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4$m/s
物體恰從A點沿切線方向進入圓弧軌道，則：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan53°$

得：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}m/s=3$m/s
（2）物體到達A點的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}m/s=5$m/s
A到B的過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
物體在B點受到的支持力與重力的合力提供向心力，則：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F_N=43N；
（3）B到C的過程中機械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+mgR（1-cos37°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：${v}_{C}=\sqrt{27}$m/s
物體在斜面CD上受到的摩擦力：f=μmgcos37°=0.5×1.0×10×0.8N=4N
設物體在軌道CD上運動的距離x，則：$-fx-mg•xsin37°=0-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：x=1.45m；
答：（1）物體水平拋出時的初速度大小是3m/s；
（2）物體經(jīng)過B點時受圓弧軌道支持力大小是43N；
（3）物體在軌道CD上向上運動的最大距離是1.45m．

點評 該題過程比較多，解答本題關鍵是分析清楚物體的運動情況，然后根據(jù)動能定理、平拋運動知識、能量守恒定理解題．