Question

9．如圖1所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在相互作用的引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的周期均為T(mén)₁；如果是星球A圍繞星球B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)且保持星球A與B間的距離不變，如圖2所示，運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)₂，則T₁與T₂之比為（　�。�

• A． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$
• B． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$
• C． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M+m}{m}}$
• D． $\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{m}{M+m}}$

Answer 1

分析 圖1是雙星問(wèn)題，A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律列式求解周期；圖2中萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期即可．

解答 解：對(duì)于圖1，設(shè)兩個(gè)星球A和B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r和R，兩個(gè)星球間距為L(zhǎng)，相互作用的萬(wàn)有引力大小為F，運(yùn)行周期為T(mén)₁．
根據(jù)萬(wàn)有引力定律有：
F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$  ①
由勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：
F=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r ②
F=M（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R ③
由題意有：L=R+r ④
聯(lián)立①②③④式得：
T₁=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（M+m）}}$
對(duì)于圖2，萬(wàn)有引力等于向心力，故：
$G\frac{Mm}{{L}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}L$
解得：
${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
故$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{M}{M+m}}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是建立天體的運(yùn)動(dòng)模型；對(duì)于雙星問(wèn)題，關(guān)鍵我們要抓住它的特點(diǎn)，即兩星球的萬(wàn)有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期；當(dāng)M＞＞m時(shí)，題中兩個(gè)模型是等價(jià)的．