Question

4．若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球視為雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點做勻速圓周運動，據(jù)此觀點，月球運行周期記為T₁．但在近似處理問題時，常常認(rèn)為月球繞地心做圓周運動，運行周期記為T₂．已知月球與地球質(zhì)量之比約為1：80，那么T₂與T₁兩者平方之比為（　　）

• A． 81：80
• B． 80：81
• C． 9：1
• D． 1：9

Answer 1

分析 對于模型1，是雙星問題，地球和月球繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬有引力定律列式求解周期；對于模型2，萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解周期即可．

解答 解：對于模型1，是雙星問題，設(shè)兩個星球月球和地球做勻速圓周運動的軌道半徑分別為r和R，兩個星球間距為L，相互作用的萬有引力大小為F，運行周期為T₁．
根據(jù)萬有引力定律有：
F=G$\frac{Mm}{（R+r）^{2}}$…①
由勻速圓周運動的規(guī)律得：
F=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r…②
F=M（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²R…③
由題意有：L=R+r…④
聯(lián)立①②③④式得：
T₁=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（M+m）}}$
對模型2，萬有引力等于向心力，故：
$G\frac{Mm}{{L}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}L$
解得：
${T}_{2}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
故$\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{M+m}{M}=\frac{80+1}{80}=\frac{81}{80}$
故選：A．

點評 本題關(guān)鍵是建立天體的運動模型；對于雙星問題，關(guān)鍵我們要抓住它的特點，即兩星球的萬有引力提供各自的向心力和兩星球具有共同的周期；當(dāng)M＞＞m時，題中兩個模型是等價的．