Question

19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中的x＜0的區(qū)域內(nèi)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，有有一半徑為R的絕緣半圓軌道，其直徑與x軸重合，B點(diǎn)位半圓形軌道的左端點(diǎn)，C點(diǎn)位軌道的最低點(diǎn)，且最右端與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．現(xiàn)在半圓左側(cè)正上方距X軸相距為2R的地方由靜止釋放一質(zhì)量為m、電量為+q的粒子，該粒子恰好能沿著半圓形軌道的Q最左端進(jìn)入軌道．當(dāng)質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)坐標(biāo)原點(diǎn)后，馬上進(jìn)入在x≥0另一勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，且質(zhì)點(diǎn)恰好在坐標(biāo)為（2R，R）的D點(diǎn)處到達(dá)最高點(diǎn)，其速度大小與坐標(biāo)原點(diǎn)處的速度大小相等．試求：
（1）粒子在半圓最低點(diǎn)對(duì)軌道的作用力；
（2）確定在x≥0區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度E′．

Answer 1

分析 （1）對(duì)從開(kāi)始點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式；在C點(diǎn)，電場(chǎng)力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式；粒子對(duì)軌道的壓力與軌道對(duì)粒子的支持力是相互作用力，相等；
（2）對(duì)從開(kāi)始點(diǎn)到O點(diǎn)過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末速度；進(jìn)入y軸右側(cè)后，水平分運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直分運(yùn)動(dòng)是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)水平分運(yùn)動(dòng)和豎直分運(yùn)動(dòng)分別列式求解．

解答 解：（1）對(duì)從開(kāi)始點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qE•3R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
根據(jù)牛頓第三定律，有：
N′=N
聯(lián)立解得：
N′=mg+6qE
（2）對(duì)從開(kāi)始點(diǎn)到O點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
qE•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$-0
解得：
${v}_{o}=\sqrt{\frac{4qER}{m}}$
進(jìn)入y軸右側(cè)后，水平分運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直分運(yùn)動(dòng)是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故：
水平分運(yùn)動(dòng)：$q{E}_{x}•2R=\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}$-0   2R=$\frac{{v}_{x}}{2}t$
豎直分運(yùn)動(dòng)：$-q{E}_{y}•R=0-\frac{1}{2}m{v}_{o}^{2}$   R=$\frac{{v}_{y}}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$
合場(chǎng)強(qiáng)：E′=$\sqrt{{E}_{x}^{2}+{E}_{y}^{2}}$  tanθ=$\frac{{E}_{y}}{{E}_{x}}$
聯(lián)立解得：E′=2$\sqrt{5}$E    θ=arctan$\frac{1}{2}$
答：（1）粒子在半圓最低點(diǎn)對(duì)軌道的作用力為mg+6qE；
（2）確定在x≥0區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度E′為2$\sqrt{5}$E，與+x軸的夾角為arctan$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，找到向心力來(lái)源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；在y軸右側(cè)時(shí)，考慮水平分運(yùn)動(dòng)和豎直分運(yùn)動(dòng)，分別根據(jù)動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．