Question

7．如圖，兩水平面（虛線）之間的距離為H，其間的區(qū)域存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．自該區(qū)域上方的A點(diǎn)將質(zhì)量為m、電荷量分別為q和-q（q＞0）的帶電小球M、N先后以相同的初速度沿平行于電場(chǎng)的方向射出．小球在重力作用下進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，并從該區(qū)域的下邊界離開．已知N離開電場(chǎng)時(shí)的速度方向豎直向下；M在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為N剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能的1.5倍．不計(jì)空氣阻力，重力加速度大小為g．求
（1）M與N在電場(chǎng)中沿水平方向的位移之比；
（2）A點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度；
（3）該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大�。�

Answer 1

分析 （1）抓住兩球在電場(chǎng)中，水平方向上的加速度大小相等，一個(gè)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等得出水平方向時(shí)間相等，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出M與N在電場(chǎng)中沿水平方向的位移之比；
（2）根據(jù)離開電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能的大小關(guān)系，抓住M做直線運(yùn)動(dòng)，得出M離開電場(chǎng)時(shí)水平分速度和豎直分速度的關(guān)系，抓住M速度方向不變，結(jié)合進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)豎直分速度和水平分速度的關(guān)系，根據(jù)速度位移公式求出A點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度；
（3）結(jié)合帶電小球M電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合速度方向得出電場(chǎng)力和重力的關(guān)系，從而求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小．

解答 解：（1）兩帶電小球的電量相同，可知M球在電場(chǎng)中水平方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，N球在水平方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向上的加速度大小相等，
兩球在豎直方向均受重力，豎直方向上做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由于豎直方向上的位移相等，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，
設(shè)水平方向的加速度大小為a，
對(duì)M，有：${x}_{M}={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
對(duì)N：v₀=at，${x}_{N}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
可得${x}_{M}=\frac{3}{2}a{t}^{2}$，
解得x_M：x_N=3：1．
（2、3）設(shè)正電小球離開電場(chǎng)時(shí)的豎直分速度為v_y，水平分速度為v₁，兩球離開電場(chǎng)時(shí)豎直分速度相等，
因?yàn)镸在電場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)，剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能為N剛離開電場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能的1.5倍，則有：$\frac{1}{2}m（{{v}_{y}}^{2}+{{v}_{1}}^{2}）=1.5×\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{y}$，
因?yàn)関₁=v₀+at=2v₀，則${v}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{y}$=2v₀，
因?yàn)镸做直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球進(jìn)電場(chǎng)時(shí)在豎直方向上的分速度為v_y1，則有：$\frac{{v}_{y1}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}$，解得v_y1=$\frac{1}{2}{v}_{y}$，
在豎直方向上有：$\frac{{{v}_{y1}}^{2}}{2g}=h$，$\frac{{{v}_{y}}^{2}-{{v}_{y1}}^{2}}{2g}=H$，
解得A點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度h=$\frac{H}{3}$．
因?yàn)镸做直線運(yùn)動(dòng)，合力方向與速度方向在同一條直線上，
有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}=\frac{mg}{qE}$=$\sqrt{2}$，
則電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=$\frac{mg}{\sqrt{2}q}$=$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$．
答：（1）M與N在電場(chǎng)中沿水平方向的位移之比為3：1
（2）A點(diǎn)距電場(chǎng)上邊界的高度為$\frac{H}{3}$；
（3）該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為$\frac{\sqrt{2}mg}{2q}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電小球在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，理清兩球在整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．