Question

19．真空中的豎直平面內(nèi)有一直角坐標(biāo)系，存在圖示的兩個(gè)矩形區(qū)域，勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域?qū)挾龋↙×$\sqrt{3}$L），方向豎直向下；勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域?qū)挾龋?.5L×3L），方向垂直紙面向里，兩個(gè)區(qū)域的上邊界平齊，如圖所示．一質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子（不計(jì)重力）以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O（電場(chǎng)左邊界的中點(diǎn)）沿x軸正方向射出，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后射出磁場(chǎng)．已知場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qL}$試求：
（1）粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的坐標(biāo)位置；
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小可調(diào)，要求帶電粒子不穿出磁場(chǎng)的右邊界，求B大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解末位置坐標(biāo)和速度；進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道半徑，再結(jié)合幾何關(guān)系得到粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的坐標(biāo)位置坐標(biāo)；
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小可調(diào)，則軌道半徑可調(diào)，要求帶電粒子不穿出磁場(chǎng)的右邊界，臨界情況是軌跡與右邊界相切，結(jié)合幾何關(guān)系求解出軌道半徑，再根據(jù)牛頓第二定律列式分析．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，故根據(jù)分位移公式，有：
水平分位移：x=L=v₀t   
豎直分位移：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$ 
根據(jù)分速度公式，有：
水平分速度：v_x=v₀     
豎直分速度：${v}_{y}=at=\frac{qE}{m}t$     
合速度：$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$   
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
根據(jù)題意，有：
E=$\frac{\sqrt{3}m{{v}_{0}}^{2}}{qL}$
聯(lián)立解得：
y=$\frac{\sqrt{3}}{2}L$
v=2v₀
θ=60°
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖所示：

根據(jù)牛頓第二定律，有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{{m（2{v_0}）}}{{q•\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{3qL}}}=\sqrt{3}L$
結(jié)合幾何關(guān)系，有：d=r=$\sqrt{3}L$
故粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（L，-$\frac{3}{2}\sqrt{3}L$）；
（2）粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求帶電粒子不穿出磁場(chǎng)的右邊界，臨界情況是軌跡與右邊界相切，如圖所示：

結(jié)合幾何關(guān)系，有：1.5L=r-rcos60°，故r=3d；
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，故：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
B=$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$
故磁感應(yīng)強(qiáng)度大小要大于$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$；
答：（1）粒子射出磁場(chǎng)的點(diǎn)的坐標(biāo)位置為（L，-$\frac{3}{2}\sqrt{3}L$）；
（2）若磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小可調(diào)，要求帶電粒子不穿出磁場(chǎng)的右邊界，B大小的范圍為：B≥$\frac{2m{v}_{0}}{3qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子先做類(lèi)似平拋運(yùn)動(dòng)，再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)規(guī)律、幾何關(guān)系、牛頓第二定律分析，不難．