Question

6．如圖1，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，軌距為L=1m，質(zhì)量為m的金屬桿ab水平放置在軌道上，其阻值忽略不計．空間存在勻強磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應強度為B=0.5T．P、M間接有阻值R₁的定值電阻，Q、N間接變阻箱R．現(xiàn)從靜止釋放ab，改變變阻箱的阻值R，測得最大速度為v_m，得到$\frac{1}{Vm}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系如圖2所示．若軌道足夠長且電阻不計，重力加速度g取l0m/s²．求：
（1）金屬桿的質(zhì)量m和定值電阻的阻值R₁；
（2）當變阻箱R取1Ω時，且金屬桿ab運動的加速度為0.5gsinθ時，此時金屬桿ab運動的速度；
（3）當變阻箱R取1Ω時，且金屬桿ab運動的速度為$\frac{Vm}{2}$時，定值電阻R₁消耗的電功率．

Answer 1

分析 （1）從靜止釋放ab，ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，相當于電源，定值電阻R₁與R并聯(lián)，可求得總電阻的表達式．當ab棒勻速運動時，速度達到最大，根據(jù)平衡條件和安培力公式到$\frac{1}{{v}_{m}}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系式，由圖象讀出斜率造型截距，即可求出m和R₁．
（2）當變阻箱R取1Ω時，且金屬桿ab運動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，根據(jù)牛頓第二定律求得此時金屬桿ab運動的速度；
（3）當變阻箱R取1Ω時，由圖象得到v_m，由公式P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$求得定值電阻R₁消耗的電功率．

解答 解：（1）總電阻為R_總=$\frac{{R}_{1}R}{{R}_{1}+R}$；
通過金屬桿ab的電流為I=$\frac{BLv}{{R}_{總}}$
當達到最大速度時金屬棒受力平衡，則有mgsinθ=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$
得，$\frac{1}{{v}_{m}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgRsinθ}$+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
根據(jù)圖象得到斜率k=0.5，縱截距b=0.5，
由數(shù)學知識得：k=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mgsinθ}$，b=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mg{R}_{1}sinθ}$
代入數(shù)據(jù)，可以得到棒的質(zhì)量m=0.1kg，R₁=1Ω
（2）金屬桿ab運動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，I′=$\frac{BLv′}{{R}_{總}}$
根據(jù)牛頓第二定律，得mgsinθ-BI′L=ma
代入得  mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}R}（{R}_{1}+R）$=$\frac{1}{2}$mgsinθ
代入數(shù)據(jù)，得到v′=0.5m/s
（3）當變阻箱R取1Ω時，根據(jù)圖象得到v_m=1m/s，則由題v=$\frac{{v}_{m}}{2}$=0.5m/s
定值電阻R₁消耗的電功率為
P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{1}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)得：P=0.0625W
答：（1）金屬桿的質(zhì)量m是0.1kg，定值電阻的阻值R₁是1Ω．
（2）當變阻箱R取1Ω時，且金屬桿ab運動的加速度為$\frac{1}{2}$gsinθ時，此時金屬桿ab運動的速度是0.5m/s．
（3）當變阻箱R取1Ω時，且金屬桿ab運動的速度為$\frac{{v}_{m}}{2}$時，定值電阻R₁消耗的電功率是0.0625W．

點評 本題根據(jù)平衡條件和安培力公式得到$\frac{1}{{v}_{m}}$與$\frac{1}{R}$的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，結(jié)合數(shù)學知識即可求得有關(guān)量．