Question

5．如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37°，CD、EF軌道水平，AB與CD通過(guò)光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連．小球可以從D進(jìn)入該軌道，沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，從E滑出該軌道進(jìn)入EF水平軌道．小球由靜止從A點(diǎn)釋放，已知AB長(zhǎng)為5R，CD長(zhǎng)為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動(dòng)摩擦因數(shù)均為0，5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R．求：
（1）小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大�。�
（2）小球剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力．
（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R’應(yīng)該滿足什么條件？若R′=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠(yuǎn)？
注：在運(yùn)算中，根號(hào)中的數(shù)值無(wú)需算出．

Answer 1

分析 （1）對(duì)球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解即可；
（2）在C點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力；根據(jù)牛頓第二定律列式求解支持力；然后再結(jié)合牛頓第三定律求解壓力；
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的點(diǎn)（設(shè)為Q）時(shí)，速度減為零，然后滑回D．由動(dòng)能定理列出等式求解．

解答 解：（1）設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)速度為v，a球從A運(yùn)動(dòng)至C過(guò)程，由動(dòng)能定理有
mg（5Rsin37°+1.8R）-μmgcos37°•5R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
可得   ${v_c}=\sqrt{5.6gR}$
（2）小球沿BC軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力為N，由牛頓第二定律得
 $N-mg=m\frac{v_c^2}{r}$，其中r滿足   r+r•sin53°=1.8R 
聯(lián)立上式可得：N=6.6mg          
由牛頓第三定律可得，球?qū)�軌道的作用力�?.6mg，方向豎直向下． 
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過(guò)圓周軌道最高點(diǎn)，進(jìn)入EF軌道．則小球b在最高點(diǎn)P應(yīng)滿足$m\frac{{{v_P}^2}}{R^'}≥mg$
小球從C直到P點(diǎn)過(guò)程，由動(dòng)能定理，有$-μmgR-mg•2{R^'}=\frac{1}{2}m{v_P}^2-\frac{1}{2}m{v_c}^2$
可得    ${R^'}≤\frac{23}{25}R=0.92R$
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點(diǎn)時(shí)，速度減為零，然后滑回D．則由動(dòng)能定理有$-μmgR-mg•{R^'}=0-\frac{1}{2}m{v_c}^2$，R′≥2.3R
若R′=2.5R，由上面分析可知，小球必定滑回D，設(shè)其能向左滑過(guò)DC軌道，并沿CB運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，在B點(diǎn)的速度為v_B，則由能量守恒定律有  $\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{1}{2}m{v_B}^2+mg•1.8R+2μmgR$
由⑤⑨式，可得     v_B=0
故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球?qū)⒃趦蓤A軌道之間做往返運(yùn)動(dòng)，小球?qū)⑼Ｔ贑D軌道上的某處．設(shè)小球在CD軌道上運(yùn)動(dòng)的總路程為S，則由能量守恒定律，有$\frac{1}{2}mv_c^2=μmgS$
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R                   
所以知，b球?qū)⑼Ｔ贒點(diǎn)左側(cè)，距D點(diǎn)0.6R處．      
答：
（1）小球滑到斜面底端C時(shí)速度的大小為$\sqrt{5.6gR}$；
（2）小球?qū)�剛到C時(shí)對(duì)軌道的作用力為6.6mg；
（3）要使小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R′應(yīng)該滿足：R′≤0.92R或R′≥2.3R；若R′=2.5R，小球最后所停位置距D點(diǎn)0.6R處．

點(diǎn)評(píng) 此題要求正確分析小球的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，熟練掌握動(dòng)能定理、能量守恒定律、圓周運(yùn)動(dòng)等規(guī)律，包含知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于難題．