Question

19．如圖，在傾角為θ=37°的足夠長固定斜面底端，一質(zhì)量m=1kg的小物塊以某一初速度沿斜面上滑，一段時(shí)間后返回出發(fā)點(diǎn)．物塊上滑所用時(shí)間t₁和下滑所用時(shí)間t₂大小之比為t₁：t₂=1：$\sqrt{5}$，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）物塊由斜面底端上滑時(shí)的初速度v₁與下滑到底端時(shí)的速度v₂的大小之比；
（2）物塊和斜面之間的動摩擦因數(shù)；
（3）若給物塊施加一大小為5$\sqrt{5}$N、方向與斜面成適當(dāng)角度的力，使物塊沿斜面向上加速運(yùn)動，求加速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平均速度公式求出速度之比；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出上滑和下滑的加速度，結(jié)合位移時(shí)間公式求出動摩擦因數(shù)；
（3）設(shè)出F與斜面的夾角α，根據(jù)牛頓第二定律表示出與α相關(guān)的方程，用三角函數(shù)特征討論加速度的最大值．

解答 解：（1）設(shè)物塊上滑的最大位移為L，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式
上滑過程：L=$\frac{{v}_{1}+0}{2}{t}_{1}$
下滑過程：L=$\frac{0+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$
整理得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{5}：1$
（2）設(shè)上滑時(shí)加速度為a₁，下滑時(shí)加速度為a₂，
根據(jù)牛頓第二定律，得上滑時(shí)：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
下滑時(shí)：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
由位移時(shí)間公式得：L=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}$
聯(lián)立三式代入數(shù)據(jù)得：μ=0.5
（3）設(shè)F與斜面的夾角為α，加速度為a，由牛頓第二定律得：
Fcosα-mgsinθ-μ（mgcosθ-Fsinα）=ma
即：F（cosα+μsinα）-mg（sinθ+μcosθ）=ma
整理得：F$\sqrt{1+{μ}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}cosα+\frac{μ}{\sqrt{1+{μ}^{2}}}sinα）-mg（sinθ+μcosθ）=ma$
令tanβ=$\frac{1}{μ}$，則：F$\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（α+β）-mg（sinθ+μcosθ）=ma$
sin（α+β）的最大值為1，設(shè)加速度最大值為a_m，
得：F$\sqrt{1+{μ}^{2}}$-mg（sinθ+μcosθ）=ma_m
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{m}=2.5m/{s}^{2}$
答：（1）物塊由斜面底端上滑時(shí)的初速度v₁與下滑到底端時(shí)的速度v₂的大小之比為$\sqrt{5}$：1；
（2）物塊和斜面之間的動摩擦因數(shù)為0.5；
（3）加速度的最大值為2.5m/s²．

點(diǎn)評 對物塊在斜面上進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式解決．注意情景發(fā)生改變，要重新進(jìn)行受力分析．