Question

18．伽利略在研究運動和力的關(guān)系時，曾經(jīng)考慮了一個無摩擦的理想實驗：如圖所示，在A點處懸掛一個擺球，將擺球拉至B點處放手，擺球?qū)�擺到與B等高的C處；假若在A點正下方的E處釘一釘子，擺球的運動路徑會發(fā)生改變，但仍能升到與開始等高的D處．如果圖中的擺線長為l，初始時刻擺線與豎直線之間的夾角為60°，重力加速度為g．求：
（1）擺球擺到最低點O時速度的大小；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少多大時，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動．

Answer 1

分析 （1）擺球下擺的過程，只有重力做功，其機械能守恒，通過機械能守恒定律求解；
（2）先由牛頓第二定律求得圓周運動最高點的速度，然后根據(jù)機械能守恒通過O點速度求解圓周運動的半徑，即可求得距離．

解答 解：（1）擺球運動過程無摩擦，故只有重力做功，那么機械能守恒；設(shè)小球的質(zhì)量為m，則有：
mgl（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
解得：v=$\sqrt{gl}$；
（2）設(shè)小球恰能通過最高點時，其軌道半徑為R，在最高點處，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
從最低點到最高點由動能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}mgR$-$\frac{1}{2}mgl$；
解得：R=$\frac{l}{5}$；
所以有：AE=l-$\frac{l}{5}$=$\frac{4l}{5}$；
答：（1）擺球擺到最低點O時速度的大小為$\sqrt{gl}$；
（2）將E處的釘子下移，當(dāng)釘子與A的距離至少為$\frac{4l}{5}$時，擺球擺下后能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動．

點評 力學(xué)問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關(guān)系求解．