Question

如圖甲，直角坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，x軸上方（含x軸）區(qū)域有垂直坐標(biāo)系xOy向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=T；在x軸下方區(qū)域有正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙，豎直向上為電場(chǎng)強(qiáng)度正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖丙，垂直xOy平面為磁場(chǎng)的正方向。光滑的絕緣斜面在第二象限，底端與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，與負(fù)x軸方向夾角θ=30°。一質(zhì)量m=1×10^-5kg、電荷量q=1×10^-4C的帶正電的粒子從斜面上A點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)恰好對(duì)斜面壓力為零，以此時(shí)為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。求：

   （1）釋放點(diǎn)A到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離L；

   （2）帶電粒子在t=2.0s時(shí)的位置坐標(biāo)；

   （3）在垂直于x軸的方向上放置一俘獲屏，要使帶電粒子垂直打在屏上被俘獲，屏所在位置的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

解：

（1）設(shè)帶電粒子在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度為a，在坐標(biāo)原點(diǎn)速度為v，則

mgsinθ=ma                 ………（1分） 

qvB=mgcosθ                ………（1分）

v²=2aL                     ………（1分）

解得 v =1m/s，L=0.1m       ………（1分）

（2）在0—1s，由乙圖知E₁=1N/C，由丙圖知，由于有qE₁ = mg，且?guī)щ娏Ｗ哟怪贝艌?chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，所以帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為r₁，運(yùn)動(dòng)周期為T₁，則

     ………（1分）                   ………（1分）

解得 m，T₁=12 s

在0—1s，設(shè)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角為θ₁，則θ₁=30°     ………（1分）

在1—2s，由乙圖知E₂=1N/C，由丙圖知T，由于有qE₂= mg，且?guī)щ娏Ｗ舆\(yùn)動(dòng)方向垂直磁場(chǎng)，所以帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為r₂，運(yùn)動(dòng)周期為T₂，則

     ………（1分）                  ………（1分）

解得 m，T₂=4 s

在1—2s，設(shè)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角為θ₂，則θ₂=90°     ………（1分）

在0—2s內(nèi)帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，設(shè)t=2s時(shí)，粒子所在位置坐標(biāo)為（x₀，y₀），則

            ………（1分）

    ………（1分）

所以，t=2s時(shí)，粒子所在位置坐標(biāo)為

（，）  ………（1分）

（3）在2—3s內(nèi)，由乙圖知E₃=1.2N/C，由丙圖知B₃=0，由于有qE₃>mg ，帶電粒子運(yùn)動(dòng)方向沿負(fù)y軸即豎直向下，所以先向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，減速到零經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t₀，則

qE₃－mg = ma              ………（1分）

v=at₀                      ………（1分）

解得 t₀=0.5 s

然后粒子向上加速運(yùn)動(dòng)0.5s，回到2s末的位置，速度大小也與2s末時(shí)相同，方向豎直向上。                        ………（1分）

在3—5s內(nèi)，由乙圖知E₄=1N/C，由丙圖知T，做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向豎直向下；在5—6s內(nèi)，重復(fù)2—3s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)；在6—8s內(nèi)，重復(fù)3—5s內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。

以后循環(huán)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。                  ………（1分）

設(shè)俘獲器放置的位置橫坐標(biāo)為x，則

      （n=0，1，2，3......）   ………（1分）

即           （n=0，1，2，3......）   ………（1分）