Question

10．如圖所示，一質量為m、長為L的木板A靜止在光滑水平面上，其左側固定一勁度系數(shù)為k的水平輕質彈簧，彈簧原長為l₀，右側用一不可伸長的輕質細繩連接于豎直墻上．現(xiàn)使一可視為質點小物塊B以初速度v₀從木板的右端無摩擦地向左滑動，而后壓縮彈簧．設B的質量為λm，當λ=1時細繩恰好被拉斷．已知彈簧彈性勢能的表達式E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的壓縮量．求：
（1）細繩所能承受的最大拉力的大小F_m
（2）當λ=1時，小物塊B滑離木板A時木板運動位移的大小s_A
（3）當λ=2時，求細繩被拉斷后長木板的最大加速度a_m的大小
（4）為保證小物塊在運動過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）細繩恰好被拉斷時，B的速度為0，細繩拉力最大，根據(jù)胡克定律及能量關系求解；
（2）細繩拉斷后小物塊和長木板組成的系統(tǒng)動量守恒，根據(jù)動量守恒定律結合小物塊滑離木板時木板二者的位移關系列式求解；
（3）當λ=2時設細繩被拉斷瞬間小物塊速度大小為v₁，根據(jù)能量守恒定律列式，細繩拉斷后，小物塊和長木板之間通過彈簧的彈力發(fā)生相互作用，當彈簧被壓縮至最短時，長木板的加速度最大，此時小物塊和長木板的速度相同，設其大小為v，彈簧壓縮量為x，則由動量守恒和能量守恒列式，聯(lián)立方程即可求解；
（4）由題意，λ＜1時，細繩不會被拉斷，木板保持靜止，小物塊向左運動壓縮彈簧后必將反向運動．λ＞1時，小物塊向左運動將彈簧壓縮x₀后細繩被拉斷，設此時小物塊速度大小為u₁
由能量關系列式，此后在彈簧彈力作用下小物塊做減速運動．設彈簧恢復原長時小物塊速度恰減小為零，根據(jù)動量守恒列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）細繩恰好被拉斷時，B的速度為0，細繩拉力為F_m，設此時彈簧的壓縮量為x₀，則有：kx₀=F_m
由能量關系，有：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}kx_0^2$
解得：${F_m}={v_0}\sqrt{mk}$
（2）細繩拉斷后小物塊和長木板組成的系統(tǒng)動量守恒，有：0=mv_A-mv_B
則小物塊滑離木板時木板二者的位移關系為：S_A=S_B
又S_A+S_B=L-l₀+x₀
解得：${s_A}=\frac{1}{2}（L-{l_0}+{v_0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$
（3）當λ=2時設細繩被拉斷瞬間小物塊速度大小為v₁，則有：$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m）v_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
細繩拉斷后，小物塊和長木板之間通過彈簧的彈力發(fā)生相互作用，當彈簧被壓縮至最短時，長木板的加速度最大，此時小物塊和長木板的速度相同，設其大小為v，彈簧壓縮量為x，則由動量守恒和能量守恒有：（2m）v₁=（2m+m）v
$\frac{1}{2}（2m）v_0^2=\frac{1}{2}（2m+m）{v^2}+\frac{1}{2}k{x^2}$
對長木板，有：kx=ma_m
解得：${a_m}=\frac{{2{v_0}}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$
（4）由題意，λ＜1時，細繩不會被拉斷，木板保持靜止，小物塊向左運動壓縮彈簧后必將反向運動．λ＞1時，小物塊向左運動將彈簧壓縮x₀后細繩被拉斷，設此時小物塊速度大小為u₁
由能量關系，有：$\frac{1}{2}（λm）v_0^2=\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2$
此后在彈簧彈力作用下小物塊做減速運動．設彈簧恢復原長時小物塊速度恰減小為零，此時木板的速度為u₂，則有：（λm）u₁=0+mu₂
$\frac{1}{2}（λm）u_1^2+\frac{1}{2}kx_0^2=\frac{1}{2}mu_2^2$
解得：λ=2
所以為保證小物塊在運動過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應滿足的條件為：λ≥2．
答：（1）細繩所能承受的最大拉力的大小為${v}_{0}\sqrt{mk}$；
（2）當λ=1時，小物塊B滑離木板A時木板運動位移的大小為$\frac{1}{2}（L-{l}_{0}+{v}_{0}\sqrt{\frac{m}{k}}）$；
（3）當λ=2時，求細繩被拉斷后長木板的最大加速度a_m的大小為$\frac{2{v}_{0}}{3}\sqrt{\frac{3k}{m}}$；
（4）為保證小物塊在運動過程中速度方向不發(fā)生變化，λ應滿足的條件為λ≥2．

點評 本題關鍵要分析清楚滑塊和滑板的運動情況，能結合能量守恒定律和動量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，難度較大．