Question

11．天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此萬(wàn)有引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星成為雙星．雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍．利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可估算出他們的總質(zhì)量．已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞他們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為T(mén)，兩顆恒星之間距離為r，萬(wàn)有引力常量為G，則可推算出這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$．

Answer 1

分析 這是一個(gè)雙星的問(wèn)題，兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供各自的向心力，兩顆恒星有相同的角速度和周期，結(jié)合牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律解決問(wèn)題．

解答 解：兩顆恒星的質(zhì)量為${m}_{1}^{\;}$、${m}_{2}^{\;}$，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為${r}_{1}^{\;}$、${r}_{2}^{\;}$，角速度ω相等，周期相等
其中${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=r$
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得：${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}}{{GT}_{\;}^{2}}{r}_{\;}^{2}$
${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}}{G{T}_{\;}^{2}}{r}_{\;}^{2}$
雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量為：$m={m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}（{r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}）{r}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
故答案為：$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是雙星問(wèn)題，與衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵抓住條件：相同的角速度和周期．