Question

14．（普通班做）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，第I象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第IV象限存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后到達(dá)x軸上的N點(diǎn)，然后射入磁場(chǎng)，最后從y軸負(fù)半軸上的P點(diǎn)垂直于y軸射出磁場(chǎng)，已知M點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，h），N點(diǎn)的坐標(biāo)是（2h，0），不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度v的大小以及v與初速度v₀的夾角θ；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出速度．
（2）粒子以此速度進(jìn)入第四象限，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，先畫出軌跡圖，找出半徑；利用洛倫茲力提供向心力的公式，可求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)分為兩部分，一是在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，二是在第四象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分段求出時(shí)間，相加可得總時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，
2h=v₀t₁，h=$\frac{1}{2}$at₁²，加速度：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$，v_y=at，
解得：v_y=v₀，t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，則θ=45°；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，r=2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角α=135°，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{4πh}{{v}_{0}}$，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{3πh}{2{v}_{\;}}$，
則粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$；
答：（1）粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的速度v的大小為$\sqrt{2}$v₀，v與初速度v₀的夾角θ為45°；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為2$\sqrt{2}$h；
（3）粒子從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的總時(shí)間t為$\frac{2h}{{v}_{0}}$+$\frac{3πh}{2{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，粒子垂直射入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式．