Question

15．如圖1所示，一光滑桿固定在底座上，構(gòu)成支架，放置在水平地面上，光滑桿沿豎直方向，一輕彈簧套在光滑桿上，彈簧的勁度系數(shù)為k．一套在桿上的圓環(huán)從彈簧上端某處由靜止釋放，接觸彈簧后，將彈簧壓縮，彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)．重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．取圓環(huán)剛接觸彈簧時(shí)的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，取豎直向下為正方向，建立x軸．
（1）在圓環(huán)壓縮彈簧的過程中，圓環(huán)的加速度為a，位移為x，在圖2中定性畫出a隨x變化關(guān)系的圖象；
（2）結(jié)合（1）中圖象所圍“面積”的物理意義，論證當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的加速度大小大于重力加速度大小；
（3）我們知道，以圓環(huán)、地球、彈簧組成的系統(tǒng)，動(dòng)能、彈性勢能和重力勢能的總和保持不變．如果把彈性勢能和重力勢能的和稱為系統(tǒng)的勢能，并規(guī)定圓環(huán)處在平衡位置（此處圓環(huán)重力與彈簧彈力相等）時(shí)系統(tǒng)的勢能為零，請根據(jù)“功是能量轉(zhuǎn)化的量度”，求圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到平衡位置下方距平衡位置距離為d時(shí)系統(tǒng)的勢能．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得加速度a與圓環(huán)的位移x的關(guān)系式，再作出a-x圖象．
（2）對照上題圖象，求得圖象與坐標(biāo)軸所圍面積，得到速度平方的變化量，得到最低點(diǎn)加速度與g的關(guān)系，再由牛頓第二定律證明即可．
（3）以圓環(huán)、地球、彈簧組成的系統(tǒng)，動(dòng)能、彈性勢能和重力勢能的總和保持不變．由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒列式求解．

解答 解：（1）由牛頓第二定律：mg-kx=ma
所以 a=g-$\frac{k}{m}$x
a與x關(guān)系圖象如下圖所示

（2）設(shè)最低點(diǎn)對應(yīng)的加速度大小為a_x，加速度為零的點(diǎn)速度為v_m，物體與彈簧剛接觸時(shí)加速度為v₀，由題意知a-x圖象中面積的意義如下：

a軸正半軸對應(yīng)面積大小為：
  S₁=$\frac{{v}_{m}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2}$
a軸負(fù)半軸對應(yīng)面積大小為：
 S₂=$\frac{{v}_{m}^{2}-0}{2}$
因?yàn)镾₁＞S₂，所以a_x＞g
（3）設(shè)在平衡位置時(shí)彈簧的壓縮量為x₀
所以 kx₀=mg
 彈簧的彈力做功 W_彈=0-E_p彈
則E_p彈=-W_彈=$\frac{1}{2}$k（x+x₀）²-$\frac{1}{2}$kx₀²=$\frac{1}{2}$kx²+kx₀x
E_pG=-mgx
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有 E_p=E_p彈+E_pG=$\frac{1}{2}$kx²+kx₀x+（-mgx）=$\frac{1}{2}$kx²
所以圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到距平衡位置為d的位置系統(tǒng)勢能為：E_p=$\frac{1}{2}$kd²
答：（1）a-x圖象如圖．
（2）見上．
（3）圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到平衡位置下方距平衡位置距離為d時(shí)系統(tǒng)的勢能是$\frac{1}{2}$kd²．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要靈活運(yùn)用牛頓第二定律得到a-x圖象，知道圖象面積的意義，也可以根據(jù)簡諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)證明第2問．