Question

18．如圖所示，在傾角為θ的斜面上，有兩條很長、光滑的、間距為L的平行金屬導軌固定其上，導軌電阻忽略不計，軌道間分布著條形勻強磁場區(qū)域，磁場區(qū)域的寬度為d₁，磁感應強度為B，方向與導軌平面垂直向下，磁場區(qū)域之間的距離為d₂，兩根質(zhì)量均為m，電阻為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直．（設重力加速度為g）
（1）若a固定在第2個磁場區(qū)域上邊，b固定在第1個磁場區(qū)域上邊，同時釋放a、b棒，求：b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能△E_k；
（2）若a進入第2個磁場區(qū)域時，b恰好離開第1個磁場區(qū)域；此后a離開第2個磁場區(qū)域時，b又恰好進入第2個磁場區(qū)域，且a、b在任意一個磁場區(qū)域或無磁場區(qū)域的運動時間均相等，求：b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）對于第（2）問所述的運動情況，求a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v．

Answer 1

分析 （1）a進入第2個磁場區(qū)域時，b以與a同樣的速度進入第1個磁場區(qū)域時，穿過回路的磁通量不變，沒有感應電流產(chǎn)生，兩棒均不受安培力，機械能守恒，可求出△E_k．
（2）兩棒分在磁場區(qū)域中和無磁場區(qū)域中運動兩個過程研究：在磁場區(qū)域中，導體棒的動能和重力勢能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；在無磁場區(qū)域中機械能守恒，則可根據(jù)能量守恒和機械能守恒列式求出b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q．
（3）本問有一定的難度，由于導體棒做加速度逐漸減小的減速運動，其加速度是變化的，因此不能用勻變速運動知識解答，可以通過微積分思想進行解答，如在極短的時間內(nèi)安培力可以認為不變，利用牛頓第二定律列方程，然后根據(jù)數(shù)學知識求解．

解答 解：（1）a和b不受安培力作用，由機械能守恒知：△E_k=mgd₁sinθ
（2）設導體棒剛進入無磁場區(qū)域時的速度為v₁，剛離開無磁場區(qū)域時的速度為v₂，由能量守恒知
在磁場區(qū)域中有：$\frac{1}{2}m{v}_1^2+Q=\frac{1}{2}m{v}_2^2+mg{d_1}sinθ$ 
在無磁場區(qū)域中有：$\frac{1}{2}m{v}_2^2=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mg{d_2}sinθ$ 
解得：Q=mg（d₁+d₂）sinθ 
（3）在無磁場區(qū)域，根據(jù)勻變速直線運動規(guī)律有：v₂-v₁=gtsinθ
且平均速度為：$\frac{{{{v}_1}+{{v}_2}}}{2}=\frac{d_2}{t}$ 
有磁場區(qū)域，棒a受到合力為：F=mgsinθ-BIl
感應電動勢為：ε=Blv
感應電流為：$I=\frac{ε}{2R}$ 
解得：$F=mgsinθ-\frac{{{B^2}{l^2}}}{2R}{v}$ 
根據(jù)動量定理，在t秒內(nèi)有：Ft=m（v₁-v₂）
得：v₁-v₂=gtsinθ-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}}{2mR}cw4cfjw_{1}$
解得：${{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
由題意知：${v}={{v}_1}=\frac{{4mgR{d_2}}}{{{B^2}{l^2}{d_1}}}sinθ-\frac{{{B^2}{l^2}{d_1}}}{8mR}$
答：（1）b穿過第1個磁場區(qū)域過程中增加的動能△E_k為mgd₁sinθ．
（2）b穿過第2個磁場區(qū)域過程中，兩導體棒產(chǎn)生的總焦耳熱Q為mg（d₁+d₂）sinθ．
（3）a穿出第k個磁場區(qū)域時的速率v為$\frac{4mgRgdlzyof_{2}}{{B}^{2}{l}^{2}6ws9c24_{1}}sinθ$-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}sh4ra38_{1}}{8mR}$．

點評 注意克服安培力做功為整個回路中產(chǎn)生的熱量；本題的難點在于第（3）問，方法巧妙，在平時練習中一定注意數(shù)學知識在物理中的應用．