Question

18．如圖所示，在xOy直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O處有一粒子源，它能向與x軸正方向夾角0-180°范圍平面內(nèi)的各個(gè)方向均勻發(fā)射速度相等、質(zhì)量m、電荷量+q的帶電粒子，x=$\sqrt{3}$a處垂直于x軸放置熒光屏MN，空間有垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力和粒子間相互影響．
（1）設(shè)磁場(chǎng)范圍足夠大，已知從O點(diǎn)沿-x方向發(fā)射的粒子，經(jīng)t₀時(shí)間到達(dá)熒光屏上x(chóng)=$\sqrt{3}$a，y=3a的P點(diǎn)，求粒子運(yùn)動(dòng)速度v和磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B；
（2）求出（1）問(wèn)情境下粒子打到熒光屏MN上的坐標(biāo)范圍、從O點(diǎn)到達(dá)熒光屏最長(zhǎng)時(shí)間與最短時(shí)間對(duì)應(yīng)粒子粒子初速度方向；
（3）若從O點(diǎn)發(fā)射所有粒子速度大小是v₀，磁場(chǎng)區(qū)為一個(gè)圓形區(qū)域，要使得從O點(diǎn)射出粒子都能垂直打到熒光屏上，求磁場(chǎng)磁感強(qiáng)度B滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件，粒子從O點(diǎn)出發(fā)，做圓周運(yùn)動(dòng)后打上熒光屏的P點(diǎn)，由幾何關(guān)系求出做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和偏轉(zhuǎn)角，由洛侖茲力提供向心力就能求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和速度大�。�
（2）打在最高點(diǎn)是軌跡所對(duì)的弦最長(zhǎng)即是直徑2r，如圖所示的M點(diǎn)，由幾何關(guān)系可以求出最高點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y₁；而打的最低點(diǎn)是軌跡恰好與屏相切時(shí)，即圖中的N點(diǎn)，由勾股定理也能求出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)y₂，至于最長(zhǎng)、最短時(shí)間顯然是偏轉(zhuǎn)角最大或最小的位置，由此可以確定入射的方向．
（3）磁場(chǎng)區(qū)為一個(gè)圓形區(qū)域，要使得從O點(diǎn)射出粒子都能垂直打到熒光屏上，此種情況是磁聚焦特殊情況，則要求磁場(chǎng)半徑R等于粒子回旋半徑r，由洛侖茲力提供向心力從而求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）粒子回旋半徑為r，如圖，則有
  r+$\sqrt{{r}^{2}-3{a}^{2}}$=3a
得：r=2α
所以由O到P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)圓心角$\frac{5π}{6}$，粒子運(yùn)動(dòng)速度v
  v=$\frac{\frac{5π}{6}r}{{t}_{0}}$=$\frac{5πa}{3{t}_{o}}$
  又qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    
  所以：B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{5πa}{6q{t}_{0}}$
（2）O點(diǎn)射出粒子在MN上最高點(diǎn)y₁，即粒子恰好轉(zhuǎn)過(guò)半周（軌跡對(duì)應(yīng)的弦為直徑）
 y₁=$\sqrt{（2r）^{2}-（\sqrt{3}a）^{2}}$=$\sqrt{13}a$ 
  沿x軸正方向射出粒子在MN上落點(diǎn)最低y₂（y₂＜0）（軌跡恰與屏相切）
  （r+y₂）²+（$\sqrt{3}a$）²=r²
  解得：y₂=α
  所以粒子打在MN上范圍：$\sqrt{13}a≥y≥-a$
  粒子從O點(diǎn)射出到達(dá)MN最長(zhǎng)時(shí)間對(duì)應(yīng)的是沿-x方向到達(dá)P點(diǎn)的粒子
  粒子從O點(diǎn)射出到達(dá)MN最短時(shí)間對(duì)應(yīng)粒子如圖，與x正方向夾角為θ  則sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
    所以θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$
（3）從O點(diǎn)以相同速度v₀射出粒子都垂直打到MN上偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)在圖中虛線圓形區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)半
徑R等于粒子回旋半徑r
   R=r
 又粒子回旋：qv₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
  B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$
 B越小，r越大，R最大值$\sqrt{3}a$，即r≤$\sqrt{3}a$
  得：B≥$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qa}$
答：（1）設(shè)磁場(chǎng)范圍足夠大，已知從O點(diǎn)沿-x方向發(fā)射的粒子，經(jīng)t₀時(shí)間到達(dá)熒光屏上x(chóng)=$\sqrt{3}$a，y=3a的P點(diǎn)，則粒子運(yùn)動(dòng)速度v為$\frac{5πa}{3{t}_{o}}$，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B為$\frac{5πa}{6q{t}_{0}}$．
（2）在（1）問(wèn)情境下粒子打到熒光屏MN上的坐標(biāo)范圍是$\sqrt{13}a≥y≥-a$、從O點(diǎn)到達(dá)熒光屏最長(zhǎng)時(shí)間是沿-x方向到達(dá)P點(diǎn)的粒子，最短時(shí)間對(duì)應(yīng)粒子粒子初速度方向
與x軸正方向成θ=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$角．
（3）若從O點(diǎn)發(fā)射所有粒子速度大小是v₀，磁場(chǎng)區(qū)為一個(gè)圓形區(qū)域，要使得從O點(diǎn)射出粒子都能垂直打到熒光屏上，磁場(chǎng)磁感強(qiáng)度B滿足的條件是不小于$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qa}$．

點(diǎn)評(píng) 要注意的是第三問(wèn)：要求所有粒子從O點(diǎn)射出的粒子均垂直打在屏MN上，顯然這是磁聚焦的情況，要求磁場(chǎng)半徑R等于粒子回旋半徑r，這樣就表示磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，從表達(dá)式可以看出，B越大，r越小，而r對(duì)應(yīng)有最大值，則B對(duì)應(yīng)有最小值．