Question

（2011?椒江區(qū)模擬）宇航員在某一未知星球表面完成下面實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在固定的豎直光滑圓弧軌道內(nèi)部的最低點(diǎn)，有一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），現(xiàn)給小球水平初速度v₀，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)所受壓力大小分別為F₁、F₂．然后他在攜帶的資料中發(fā)現(xiàn)這樣的信息：在該星球赤道上有相距路程為L(zhǎng)的A、B兩位置，當(dāng)某一時(shí)刻陽(yáng)光垂直照射A處時(shí)，B處的陽(yáng)光與星球表面成θ角．請(qǐng)你幫他完成如下計(jì)算：
（1）求出該星球表面的重力加速度；
（2）求出該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)所受壓力大小，由運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒以及利用在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)合力提供向心力，求出重力加速度．
（2）根據(jù)A、B兩位置相距的路程及太陽(yáng)光垂直照射A處時(shí)，B處的陽(yáng)光與星球表面所成的角度，求出星球的半徑，第一宇宙速度的軌道半徑等于星球的半徑，根據(jù)表面所受的重力提供向心力，求出第一宇宙速度．

解答：解：（1）由題意根據(jù)合力提供向心力：
在最低點(diǎn)：F1-mg=m

v02

r

在最高點(diǎn)：F2+mg=m

v2

r

根據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

mv02=

1

2

mv2+mg2r

解得g=

F1-F2

6m

故星球表面的重力加速度為

F1-F2

6m

．
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的日照情況可計(jì)算出該星球的半徑R=

L

π 2 -θ

用v表示該星球的第一宇宙速度，有
      mg=m

v2

R

得v=

gR

=

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

故星球的第一宇宙速度為

F1-F2 6m ? L π 2 -θ

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩知識(shí)點(diǎn)．以及知道圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是合力提供向心力．