Question

12．如圖所示，電阻不計足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角θ=30°，導(dǎo)軌間距l(xiāng)，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.2T，方向垂直斜面向上．甲、乙金屬桿質(zhì)量均為m=0.02kg、電阻相同，甲金屬桿處在磁場的上邊界，乙金屬桿距甲也為l，其中l(wèi)=0.4m．同時無初速釋放兩金屬桿，此刻在甲金屬桿上施加一個沿著導(dǎo)軌的外力F，保持甲金屬桿在運(yùn)動過程中始終與乙金屬桿未進(jìn)入磁場時的加速度相同．（取g=10m/s²）
（1）乙金屬桿剛進(jìn)入磁場后做勻速運(yùn)動，分析甲金屬桿所在的位置并計算乙的電阻R為多少？
（2）以剛釋放時t=0，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場，外力F隨時間t的變化關(guān)系，并說明F的方向．
（3）若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿中共產(chǎn)生熱量Q=$\frac{1}{30}$J，試求此過程中外力F對甲做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到甲乙加速度相同，都是5m/s²，當(dāng)乙進(jìn)入磁場時，甲剛出磁場，由運(yùn)動學(xué)公式求出乙進(jìn)入磁場時的速度，乙金屬桿剛進(jìn)入磁場時作勻速運(yùn)動，根據(jù)安培力的公式和平衡條件可求出甲乙的電阻R．
（2）甲在磁場中運(yùn)動做勻加速運(yùn)動，由速度公式得到速度與時間的關(guān)系式，根據(jù)牛頓第二定律求解外力F隨時間t的變化關(guān)系．
（3）乙進(jìn)入磁場前，甲乙發(fā)出相同熱量．甲一直在磁場中時，外力F始終等于安培力，克服安培力做功等于甲乙產(chǎn)生的總熱量；乙在磁場中運(yùn)動時，根據(jù)動能定理求出乙放出的熱量，即可求出甲乙發(fā)出的熱量，再求出外力做功．

解答 解：（1）甲乙加速度相同（5m/s²），當(dāng)乙進(jìn)入磁場時，甲剛出磁場
乙進(jìn)入磁場時速度 v=$\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{2×10×0.4×0.5}$=2m/s ①
乙受力平衡 mgsinθ=F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$ ②
R=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2mgsinθ}$=$\frac{0．{2}^{2}×0．{4}^{2}×2}{2×0.02×10×0.5}$=0.064Ω
（2）甲在磁場中運(yùn)動時，v=at=5t          ③
外力F始終等于安培力，F(xiàn)=F_A=BIl=B$\frac{Blv}{2R}$l=0.25t    ④
F方向沿導(dǎo)軌向下                       
（3）乙進(jìn)入磁場前，甲乙發(fā)出相同熱量，設(shè)為Q₁．
此過程中甲一直在磁場中，外力F始終等于安培力，則有W_F=W_安=2 Q₁ ⑥
乙在磁場中運(yùn)動發(fā)出熱量Q₂，
利用動能定理mglsinθ-2 Q₂=0                                
得Q₂=0.02J        ⑦
甲乙發(fā)出相同熱量Q₁=$\frac{1}{2}$（Q-Q₂）=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{30}$-0.02）=0.0133J                         
由于甲出磁場以后，外力F為零．得W_F=2 Q₁=0.0266J      
答：
（1）甲乙的電阻R為0.064Ω．
（2）從開始到甲金屬桿離開磁場，外力F隨時間t的變化關(guān)系為F=0.25t，F(xiàn)的方向沿導(dǎo)軌向下．
（3）此過程中外力F對甲做的功為0.0267J．

點評 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，分析導(dǎo)體棒的運(yùn)動情況，要抓住甲勻加速運(yùn)動的過程中，外力與安培力大小相等．分別從力和能量兩個角度進(jìn)行研究．