Question

2．如圖，半徑R=0.5m的光滑圓弧軌道ABC與足夠長(zhǎng)的粗糙軌道CD在C處平滑連接，O為圓弧軌道ABC的圓心，B點(diǎn)為圓弧軌道的最低點(diǎn)．半徑OA、OC與OB的夾角分別為53°和37°．將一個(gè)質(zhì)量m=0.5kg的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)左側(cè)高為h=0.8m處的P點(diǎn)水平拋出，恰從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道．已知物體與軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.8，重力加速度g=l0m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小v₀；
（2）物體經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)的距離x．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)，由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出物體落在A時(shí)的豎直分速度，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求出物體的初速度大小v₀．
（2）通過計(jì)算分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，由能量守恒定律求出物體在B點(diǎn)的速度，然后又牛頓第二定律求出物體對(duì)圓弧軌道壓力大小F_N；
（3）先由機(jī)械能守恒求出物體在C點(diǎn)的速度，然后由動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：（1）物體在拋出后豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，豎直方向：${v}_{y}=\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×0.8}m/s=4$m/s
物體恰從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，則：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=tan53°$

得：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=\frac{4}{\frac{4}{3}}m/s=3$m/s
（2）物體到達(dá)A點(diǎn)的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}m/s=5$m/s
A到B的過程中機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}+mgR（1-cos53°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{B}=\sqrt{29}$m/s
物體在B點(diǎn)受到的支持力與重力的合力提供向心力，則：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
得：F_N=34N；
（3）B到C的過程中機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}+mgR（1-cos37°）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
得：${v}_{C}=\sqrt{27}$m/s
物體在斜面CD上受到的摩擦力：f=μmgcos37°=0.8×0.5×10×0.8N=3.2N
設(shè)物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)的距離x，則：$-fx-mg•xsin37°=0-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：x=1.09m；
答：（1）物體水平拋出時(shí)的初速度大小是3m/s；（2）物體經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道壓力大小是34N；（3）物體在軌道CD上運(yùn)動(dòng)的距離是1.09m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)、能量守恒定理解題．