Question

2．如圖所示，豎直平面MN、CD與紙面垂直，MN右側、CD左側的空間存在著垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場和水平向左的勻強電場，CD的右側只有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場．MN左側的水平面光滑，右側NC段的水平面粗糙，CD的右側為一半徑為r的光滑半圓軌道與水平面相切于C點．質量為m 的物體A靜止在MN左側的水平面上，已知該物體帶負電，電荷量的大小為q．一質量為$\frac{1}{3}$m的不帶電的物體B以速度v₀沖向物體A并發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后物體A的電荷量保持不變．求：
（1）碰撞后物體的速度大小v_A；
（2）若A與水平面的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度的大小為g，磁感應強度的大小為B=$\frac{3mg}{{qv}_{0}}$，電場強度的大小為E=$\frac{4μmg}{q}$．已知物體A從MN開始向右移動的距離為L時，（L小于NC之間的距離），速度增大到最大值．求：
a、此過程中物體A克服摩擦力所做的功W；
b、此過程所經(jīng)歷的時間t．
c、若r=$\frac{{5v}_{0}^{2}}{36g}$，物體能否到達D點？若能，當物體A運動到D點時對軌道的壓力為多大？若不能，物體A從何處離開軌道？

Answer 1

分析 （1）物體A、B是彈性碰撞，系統(tǒng)動量守恒、機械能也守恒，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列式后聯(lián)立求解得到碰撞后物體A的速度大小v_A；
（2）滑塊A進入電磁場區(qū)域后，受向右的電場力、向下的洛侖茲力、重力、支持力和向左的滑動摩擦力，是變加速運動，當摩擦力與電場力平衡時速度最大；根據(jù)平衡條件列式求解最大速度，根據(jù)動能定理列式求解此過程中物體A克服摩擦力所做的功W；根據(jù)動量定理列式求解此過程所經(jīng)歷的時間t；
（3）求出經(jīng)過最高點的臨界速度，再根據(jù)機械能守恒定律求解最高點速度，比較可知是否能經(jīng)過最高點，再求壓力．

解答 解：（1）設A、B碰撞后的速度分別為v_A、v_B，由于A、B發(fā)生彈性碰撞，動量、動能均守恒，則有：
$\frac{1}{3}m{v}_{0}=\frac{1}{3}m{v}_{B}+m{v}_{A}$             ①
$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}{m}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}m{v}_{B}^{2}+$$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ②
聯(lián)立①②可得：${v}_{A}=\frac{1}{2}{v}_{0}$ ③
（2）a、A的速度達到最大值v_m時合力為零，受力如圖所示：

豎直方向合力為零，有：N=qv_mB+mg     ④
水平方向合力為零，有：qE=μN              ⑤
根據(jù)動能定理，有：$qEl-W=\$$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}-$$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥并代入相相關數(shù)據(jù)可得：W=4μmgl-$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
b、在此過程中，設A物體運動的平均速度為$\overline{v}$，根據(jù)動量定理有：
qEt-μ$\overline{N}$t=mv_m-mv_A             ⑦
$\overline{N}$=mg+q$\overline{v}$B                          ⑧
依題意有：$\overline{v}$t=l                    ⑨
聯(lián)立③④⑤⑦⑧⑨并代入相關數(shù)據(jù)可得：t=$\frac{l}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{6μg}$
c、到達C點時，根據(jù)④⑤可知：v_m=v₀
若可以到達最高點，速度為v_D，根據(jù)機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2r+\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
且r=$\frac{{5v}_{0}^{2}}{36g}$
解得：v_D=$\frac{2}{3}{v}_{0}$
設剛好通過最高點的臨界速度為${v}_{D}^{'}$，在D點有：$mg-q{v}_{D}^{'}B=m\frac{{{v}_{D}^{'}}^{2}}{r}$
解得：${v}_{D}^{'}$=0.21v₀
${v}_{D}^{'}$＜v_D，故可以通過D點，
根據(jù)牛頓第二定律有：$mg+{N}_{D}-q{v}_{D}B=m\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
解得：N_D=4.2mg
根據(jù)牛頓第三定律可知對軌道的壓力為4.2mg．
答：（1）碰撞后物體A的速度大小v_A為$\frac{1}{2}$v₀；
（2）a、此過程中物體A克服摩擦力所做的功W為4μmgl-$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$；
b、此過程所經(jīng)歷的時間t為$\frac{l}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{6μg}$；
c、物體能到達D點，當物體A運動到D點時對軌道的壓力為4.2mg．

點評 本題關鍵是明確兩個物體碰撞過程中系統(tǒng)動量守恒、機械能也守恒；滑塊A向右運動過程中是變加速運動，當摩擦力增加到等于電場力時，速度達到最大值，結合動能定理和動量定理列式分析．