Question

7．如圖甲所示，兩平行金屬板A、B長L=8cm，兩板間距離d=6cm，A、B兩板間的電勢(shì)差U_AB=100V，一比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁶c/kg的帶正電粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿電場(chǎng)中心線垂直電場(chǎng)線以初速度v₀=2×10⁴m/s飛入電場(chǎng)，粒子飛出平行板電場(chǎng)后經(jīng)過界面MN、PS間的無電場(chǎng)區(qū)域，已知兩界面MN、PS相距為s=8cm，帶點(diǎn)粒子從PS分界線上的C點(diǎn)進(jìn)入PS右側(cè)的區(qū)域，當(dāng)粒子到達(dá)C點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，PS右側(cè)區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（垂直紙面向里為正方向）．求：

（1）PS分界線上的C點(diǎn)與中心線OO′的距離y；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后第二次經(jīng)過中心線OO′時(shí)與PS分界線的距離x．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后，只受電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移h，由幾何知識(shí)求解粒子穿過界面PS時(shí)偏離中心線RO的距離．
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向．粒子穿過界面PS后將繞電荷Q做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由庫侖力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，和運(yùn)動(dòng)的周期，再由幾何關(guān)系求解即可．

解答 解：（1）設(shè)粒子從電場(chǎng)中飛出的側(cè)位移為h，穿過界面PS時(shí)偏離中心線的距離為y
        L=v₀t     （1）
  $t=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{0.08}{2×1{0}^{4}}=4×1{0}^{-6}$s
    h=$\frac{1}{2}$at²         （2）
又粒子的加速度為a=$\frac{qU}{md}$=$1×1{0}^{6}×\frac{100\sqrt{3}}{0.06}=\frac{5\sqrt{3}}{3}×1{0}^{9}m/{s}^{2}$ （3）
由（1）（2）（3）代入解得  h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{-2}$m=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$cm
設(shè)粒子從電場(chǎng)中飛出時(shí)在豎直方向的速度為v_y則
  v_y=at=$\frac{5\sqrt{3}}{3}×1{0}^{9}×4×1{0}^{-6}=\frac{2\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}$m/s
v與水平方向的夾角θ=arctan$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}=arctan\frac{2×1{0}^{4}}{\frac{2\sqrt{3}×1{0}^{4}}{3}}=arctan\frac{\sqrt{3}}{3}=30°$
PS分界線上的C點(diǎn)與中心線OO′的距離y：$y=h+s•tanθ=\frac{4\sqrt{3}}{3}+8×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$cm
（2）粒子從電場(chǎng)中飛出時(shí)速度v．則
    v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}$m/s
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}}{1×1{0}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{3}}=0.04$m=4cm
粒子在該磁場(chǎng)中的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2π×0.04}{\frac{4\sqrt{3}}{3}×1{0}^{4}}=2\sqrt{3}π×1{0}^{-6}$s
由圖可知，磁場(chǎng)經(jīng)過$t=\frac{2\sqrt{3π}}{3}×1{0}^{-6}s=\frac{1}{3}T$改變一次方向，所以粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：

由（1）可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到的方向與PS之間的夾角是60°，經(jīng)過$\frac{1}{3}$T后，粒子偏轉(zhuǎn)的角度是120°，所以是豎直向上；此時(shí)磁場(chǎng)改變方向，則粒子也改變偏轉(zhuǎn)的方向，即粒子改變?yōu)橄蛴移�轉(zhuǎn)，軌跡如圖，再經(jīng)過$\frac{1}{3}T$的軌跡如圖，在該過程中粒子兩次經(jīng)過OO′軸；
$CD=r•cos30°=2\sqrt{3}$cm，
所以：$DE=y-CD=4\sqrt{3}cm-2\sqrt{3}cm=2\sqrt{3}cm$
由圖中幾何關(guān)系可知：粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后第二次經(jīng)過中心線OO′時(shí)與PS分界線的距離即$\overline{EG}$，由圖可得：
$\overline{EG}=2r+2•rsin30°=3r=3×4cm=12$cm  
答：（1）PS分界線上的C點(diǎn)與中心線OO′的距離是$4\sqrt{3}$cm；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后第二次經(jīng)過中心線OO′時(shí)與PS分界線的距離是12cm；

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．要注意帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過程中，運(yùn)動(dòng)的軌跡是分析與解答的關(guān)鍵，要正確畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡．