Question

17．如圖所示，一輕彈簧直立地面上，其勁度系數為400N/m，彈簧上端與盒子A連接在一起，盒子內裝物體B，B的上下表面恰與盒子接觸，A和B的質量m_A=m_B=1.0kg，g=10m/s²，不計空氣阻力．先將A向上抬高使彈簧伸長5.0cm后，從靜止釋放，釋放后A和B一起做簡諧運動．試求：
（1）A的振幅A₀；
（2）B的最大速率v_m；
（3）盒子振動到最高點和最低點時刻A對B的作用力大小F₁、F₂．

Answer 1

分析 （1）簡諧運動的振幅A是振動物體離開平衡位置的最大距離，根據此定義，可先求出振子在平衡位置時，彈簧的壓縮量，即可求解A．
（2）振子到達平衡位置時B的速率最大，從開始到平衡位置，運用機械能守恒定律列式，可求出B的最大速率．
（3）先由整體法求出加速度，再隔離B，運用牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）振子在平衡位置時，所受合力為零，設此時彈簧被壓縮△x．則（m_A+m_B）g=k△x，
代入數據解得△x=0.05m=5cm
開始釋放時振子處在最大位移處，故振幅A為：A=5cm+5cm=10cm．
（2）由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量，故彈性勢能相等，設振子的最大速率為v，從開始到平衡位置處，根據機械能守恒定律：
  （m_A+m_B）•A=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_m²
則得 v_m=$\sqrt{2gA}$=$\sqrt{2×10×0.1}$=$\sqrt{2}$m/s，即B的最大速率為$\sqrt{2}$m/s       
（3）在最高點，振子受到的重力和彈力方向相同，根據牛頓第二定律：
對AB整體，有a=$\frac{k△x+（{m}_{A}+{m}_{B}）g}{{m}_{A}+{m}_{B}}$=20m/s²；
對B，由牛頓第二定律得：N₁+m_Bg=m_Ba
則A對B的作用力方向向下，其作用力大小為：N₁=m_Ba-m_Bg=10N
在最低點，根據對稱性知，加速度大小為a=20m/s²；方向向上．
對B，由牛頓第二定律得：N₂-m_Bg=m_Ba
則A對B的作用力方向向上，其大小N₂為：N₂=m_Ba+m_Bg=30N
答：
（1）物體A的振幅是10cm．
（2）物體B的最大速率是1.4m/s．
（3）在最高點A對B的作用力方向向下，其大小為10N，在最低點A對B的作用力方向向上，其大小為30N．

點評 本題要緊扣振幅的定義，要注意A、B的加速度相同，靈活選擇研究對象，運用胡克定律、牛頓第二定律和機械能守恒結合進行分析和求解．