Question

7．如圖所示，間距為d的水平長(zhǎng)直導(dǎo)軌MN、PQ與半徑為r=1.0m的光滑圓軌道O₁、O₂平滑相接于P、M兩點(diǎn)，在直導(dǎo)軌的N、Q間接阻值為R的電阻，寬度為L(zhǎng)的abcd區(qū)域存在豎直導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），cd邊界的左側(cè)粗糙，右側(cè)光滑，cd邊界距PM的距離為S，一質(zhì)量為m，電阻為R₀的金屬導(dǎo)體棒在外力F作用下以加速度a從靜止開(kāi)始勻加速運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌P、M端時(shí)立即將外力F撤去．已知導(dǎo)體棒質(zhì)量為m=1.0kg，導(dǎo)體棒與水平導(dǎo)軌的動(dòng)摩擦因素μ=0.4，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T，電阻R=R₀=2.0Ω（其余電阻不計(jì)），外力F與時(shí)間t的關(guān)系圖象如圖乙所示．（g取10m/s²）求：

（1）求導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的加速度a和長(zhǎng)直導(dǎo)軌的間距d
（2）若金屬棒不脫離圓軌道，試討論S與導(dǎo)體棒上升的最大高度的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力公式F_安=BId和牛頓第二定律得到F與t的關(guān)系式，結(jié)合圖象的信息求解．
（2）若金屬棒不脫離圓軌道，有兩種情況：一、導(dǎo)體棒剛好到達(dá)圓軌道與圓心等高點(diǎn)位置；二、導(dǎo)體棒能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)．根據(jù)臨界條件和動(dòng)能定理結(jié)合解答．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，且切割磁感線，由法拉第電磁感應(yīng)定律得感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=Bdv…①
由閉合電路歐姆定律得通過(guò)導(dǎo)體棒的感應(yīng)電流為：$I=\frac{E}{{R+{R_0}}}$…②
導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)過(guò)程中受到的安培力為：F_安=BId…③
由牛頓第二定律得：F-F_安=ma…④
由�、佗冖邰苁铰�(lián)立解得：$F=ma+\frac{{{B^2}{d^2}a}}{{R+{R_0}}}t$…⑤
代入數(shù)據(jù)得：$F=a+\frac{{a{d^2}}}{4}t$…⑥
由圖乙可知，a=2m/s²；$\frac{acskwqig^{2}}{4}$=2…⑧
解得：d=2m…⑨
（2）設(shè)導(dǎo)體棒剛離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度為v₀，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：v₀=at=4m/s…⑩
導(dǎo)體棒離開(kāi)磁場(chǎng)后做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)P、M端點(diǎn)時(shí)設(shè)速度為為v₁，由動(dòng)能定理得：
 $（F-μmg）S=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v_0}^2$…（11）
解得：${v_1}=2\sqrt{S+4}$…（12）
討論一：若導(dǎo)體棒剛好到達(dá)圓軌道與圓心等高點(diǎn)位置，則須滿(mǎn)足：$\frac{1}{2}m{v_1}^2≤mgr$…（13）
解得：S≤1.0m    
設(shè)導(dǎo)體棒上升的最大高度為h，由動(dòng)能定理得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_1}^2$…（14），
解得：h=0.8+0.2S…（15）
討論二：若導(dǎo)體棒能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，則須滿(mǎn)足 $mg≥\frac{{m{v_2}^2}}{r}$…（16）
由動(dòng)能定理得：$mg2r≤\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}m{v_2}^2$…（17），
解得：S≥8.5m…（18）
則導(dǎo)體棒上升的最大高度為：h=2r=2.0m…（19）．
答：（1）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的加速度a是2m/s²；長(zhǎng)直導(dǎo)軌的間距d是2m．
（2）若金屬棒不脫離圓軌道，S與導(dǎo)體棒上升的最大高度的關(guān)系為：若導(dǎo)體棒剛好到達(dá)圓軌道與圓心等高點(diǎn)位置時(shí)，h=0.8+0.2S；若導(dǎo)體棒能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)導(dǎo)體棒上升的最大高度為 h=2r=2.0m．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合，關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒可能的運(yùn)動(dòng)情形，抓住圓周運(yùn)動(dòng)的條件，由力學(xué)規(guī)律和電磁感應(yīng)規(guī)律結(jié)合解答．