Question

【題目】如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺(tái)面WXYZ邊長(zhǎng)=1.8m，距地面h=0.8m。平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔。電容器外的臺(tái)面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電荷量q=5×10-13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經(jīng)電場(chǎng)加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場(chǎng)（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺(tái)面。在微粒離開臺(tái)面瞬時(shí)，靜止于X正下方水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時(shí)恰好與之相遇。假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)、極板間電場(chǎng)視為勻強(qiáng)電場(chǎng)，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，取g=10m/s2

（1）求微粒在極板間所受電場(chǎng)力的大小并說明兩板地極性；

（2）求由XY邊界離開臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍；

（3）若微粒質(zhì)量mo=1×10-13kg，求滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度。

Answer 1

【答案】（1）1.25×10-11N，C板為正，D板為負(fù)。（2）8.1×10-14kg＜m≤2.89×10-13kg。（3）4.15m/s

【解析】（1）微粒在極板間所受電場(chǎng)力大小為：F= …①
代入數(shù)據(jù)得：F=1.25×10-11N…②

由微粒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可判斷微粒帶正電荷，微粒由極板間電場(chǎng)加速，故C板為正極，D板為負(fù)極。
（2）若微粒的質(zhì)量為m，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v，
由動(dòng)能定理Uq=mv2…③
微粒在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力充當(dāng)向心力，若圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，
有qvB=m …④
微粒要從XY邊界離開臺(tái)面，則圓周運(yùn)動(dòng)的邊緣軌跡如圖所示，半徑的極小值與極大值分別為
R1= …⑤
R2=l-d…⑥
聯(lián)立③～⑥，代入數(shù)據(jù)，有8.1×10-14kg＜m≤2.89×10-13kg…⑦
（3）如圖所示，微粒在臺(tái)面以速度v做以O點(diǎn)為圓心、R為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)，從臺(tái)面邊緣P點(diǎn)沿與XY邊界成θ角飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)為Q，水平位移為s，下落時(shí)間為t。設(shè)滑塊質(zhì)量為M，滑塊獲得速度v0后在t內(nèi)沿與平臺(tái)前側(cè)面成φ角方向，以加速度a做勻減速直線運(yùn)動(dòng)到Q，經(jīng)過位移為k。由幾何關(guān)系，可是
cosθ=…⑧
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)，
t=…⑨
s=vt…⑩
對(duì)于滑塊，由牛頓定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，有：
μMg=Ma…（11）
k=v0t-at2…（12）
再由余弦定理，k2=s2+（d+Rsinθ）2-2s（d+Rsinθ）cosθ…（13）
及正弦定理， …（14）
聯(lián)立③、④和⑧～（14），并代入數(shù)據(jù)解得：v0=4.15m/s…（15）
φ=arcsin0.8（或φ=53°）…（16）