Question

1．如圖所示，在O點懸有一細繩，細繩穿過小球B的通過直徑的小孔，使B球能順著繩子滑下來．在O點正下方有一半徑為R=1m的光滑弧形軌道，圓心位置恰好在O點，弧形軌道的最低點為O′，在接近O′處有另一小球A，令A、B兩球同時開始無初速釋放．（取π²=10，g=10m/s²）求：
①若細線光滑，試計算B小球和A小球第一次到O′時間？
②若要A球第一次到達平衡位置時正好能夠和B球相碰，則B球與繩之間的摩擦力與B球重力大小之比是多少？

Answer 1

分析 （1）A做單擺運動，B做自由落體運動，由此可求到O′時間．
（2）由AB相碰必須滿足運動時間相等，結(jié)合第一問對AB運動時間的求解可得B球與繩之間的摩擦力與B球重力大小之比．

解答 解：
①A做單擺運動，到O′時間為$\frac{1}{4}T$，由單擺周期公式可得：
${t}_{a}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}$=0.5s；
B做自由落體運動：
$2R=\frac{1}{2}g{{t}_}^{2}$，
解得：
${t}_=\sqrt{\frac{2R}{g}}=\frac{\sqrt{5}}{5}s$．
②若要A球第一次到達平衡位置時正好能夠和B球相碰，則B球與繩之間必由摩擦力，由此可得：
$t=\frac{π}{2}\sqrt{\frac{R}{g}}=\sqrt{\frac{2R}{a}}$；
解得：
$a=\frac{8g}{{π}^{2}}=\frac{8×10}{10}=8m/{s}^{2}$．
對小球B，由牛頓第二定律：
mg-f=ma；
解得：
$\frac{f}{mg}=\frac{1}{5}$．
答：①若細線光滑，B小球和A小球第一次到O′時間分別為：$\frac{\sqrt{5}}{5}s$和0.5s
②若要A球第一次到達平衡位置時正好能夠和B球相碰，則B球與繩之間的摩擦力與B球重力大小之比是1：5．

點評 該題重點是能夠分清AB兩球的運動性質(zhì)，依據(jù)各自的運動性質(zhì)來求解時間；其次要知道相遇問題必須要滿足運動時間相等．