Question

如圖甲所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，一根質(zhì)量為m、長為L、電阻為R的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與金屬棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?，棒與導(dǎo)軌的接觸電阻不計(jì)．導(dǎo)軌左端連有阻值為2R的電阻，在電阻兩端接有電壓傳感器并與計(jì)算機(jī)相連．有n段豎直向下的寬度為a間距為b的勻強(qiáng)磁場（a＞b），磁感強(qiáng)度為B、金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場相距2a．

（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀一直向右穿過各磁場，需對(duì)金屬棒施加一個(gè)水平向右的拉力，求金屬棒進(jìn)入磁場前拉力F₁的大小和進(jìn)入磁場后拉力F₂的大小；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運(yùn)動(dòng)到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速為零，現(xiàn)對(duì)棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿過各段磁場，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)顯示出的電壓隨時(shí)間以固定的周期做周期性變化，在給定的坐標(biāo)圖乙中定性地畫出計(jì)算機(jī)顯示的圖象（從金屬棒進(jìn)入第一段磁場開始計(jì)時(shí)）．
（4）在（3）的情況下，求整個(gè)過程導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量，以及金屬棒從第n段磁場穿出時(shí)的速度．

Answer 1

分析：（1）金屬棒保持v₀一直向右勻速運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場前，拉力F₁與滑動(dòng)摩擦力平衡，由平衡條件可解；金屬棒在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力與滑動(dòng)摩擦力、安培力平衡，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，可解．
（2）分兩段求功：一段在非磁場區(qū)域，運(yùn)動(dòng)的位移為[2a+（n-1）b]，可求出功；另一段在在磁場區(qū)域，每一段拉力做功相同，共有n段，由功的公式可求解．
（3）要使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區(qū)域做加速運(yùn)動(dòng)，在磁場區(qū)域做減速運(yùn)動(dòng)，則穿過各段磁場時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢減小，路端電壓減小，根據(jù)速度的變化情況，可作出電壓圖象．
（4）進(jìn)入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理，求出金屬棒進(jìn)入磁場時(shí)的速度．進(jìn)入在磁場時(shí)，拉力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)能量守恒定律求出熱量．

解答：解：
（1）金屬棒進(jìn)入磁場前，F(xiàn)₁=f=μN(yùn)=μmg
金屬棒在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)₂=f+F_安=f+BIL
又I=

E

2R+R

=

BLv0

3R

，
聯(lián)立得  F2=μmg+

B2L2v0

3R

（2）在非磁場區(qū)域外力F₁所做的功為  W₁=F₁[2a+（n-1）b]=μmg[2a+（n-1）b]
在磁場區(qū)域外力F₂所做的功為  W2=F2×na=(μmg+

B2L2v0

3R

)na
在此過程拉力所做的總功  W=W1+W2=μmg[(n+2)a+(n-1)b]+

nB2L2avo

3R

（3）要使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，金屬棒在無磁場區(qū)域做加速運(yùn)動(dòng)，在磁場區(qū)域做減速運(yùn)動(dòng)，則穿過各段磁場時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢減小，路端電壓減小，而且速度減小時(shí)，安培力減小，加速度減小，則路端電壓減小變化慢，電壓圖象的斜率減小，可作出電壓圖象如圖．
（4）進(jìn)入各磁場時(shí)的速度均相同，等于從OO?運(yùn)動(dòng)2a位移時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理得
   (F-μmg)×2a=

1

2

mv′2
每經(jīng)過一段磁場產(chǎn)生的電能相同，設(shè)為E_電，根據(jù)動(dòng)能定理，有
     Fa-μmga-E電=

1

2

mv2-

1

2

mv′2
所以

E電=Fa-μmga- 1 2 mv2+ 1 2 mv′2 =Fa-μmga-(F-μmg)(2a-b)+(F-μmg)×2a =(F-μmg)(a+b)

Q=

nE電

3R

×2R=

2

3

n(F-μmg)(a+b)，
解得 v=

(F-μmg)(4a-2b) m

答：（1）金屬棒進(jìn)入磁場前拉力F₁的大小為μmg，進(jìn)入磁場后拉力F₂的大小為μmg+

B2L2v0

3R

；
（2）金屬棒從OO′開始運(yùn)動(dòng)到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功為μmg[（n+2）a+（n-1）b]+

nB2L2av0

3R

；
（3）電壓圖象如圖；
（4）整個(gè)過程導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為

2

3

n(F-μmg)(a+b)，金屬棒從第n段磁場穿出時(shí)的速度為

(F-μmg)(4a-2b) m

．

點(diǎn)評(píng)：題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來求解，解題時(shí)要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時(shí)電路中發(fā)熱量均相同的條件．