Question

19．如圖甲所示，一個(gè)絕緣傾斜直軌道AE固定在豎直面內(nèi)，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）放在軌道最高點(diǎn)A處，軌道的AB部分粗糙，與物體間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，BE部分光滑．整個(gè)空間存在著豎直方向的周期性變化的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖乙所示，且t=0時(shí)電場(chǎng)方向豎直向下．在過(guò)B點(diǎn)的豎直虛線右側(cè)存在著方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足qB=2πm．在t=0時(shí)刻將物體從A點(diǎn)靜止釋放，在t=2s時(shí)刻物體達(dá)到B點(diǎn)，在B點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體沒(méi)有離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)域，且物體在軌道上的BC和CD段運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，均為t₀=1s．已知重力加速度為g，物體所受到的洛倫茲力小于2mgcosθ．

（1）由于軌道傾角未知，一位同學(xué)用量角器將其測(cè)出并記為θ，求物體達(dá)到B點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（2）另一位同學(xué)并未使用量角器，而是用直尺分別測(cè)出了BC、CD的長(zhǎng)度，分別記為L(zhǎng)₁、L₂，求軌道傾角θ；（可以用三角函數(shù)值表示）
（3）觀察物體在D點(diǎn)以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它并未沿著斜面運(yùn)動(dòng)，且物最終剛好水平打在F點(diǎn)處的擋板（高度可以忽略）上停下．若斜面傾角θ已知，求E點(diǎn)與F點(diǎn)的間距L，并在圖乙中畫(huà)出物體全程的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

分析 （1）在0～1s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，從而根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出末速度，在1～2s內(nèi)，電場(chǎng)力方向豎直向上，大小等于重力，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物體在光滑斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度，根據(jù)相等時(shí)間內(nèi)的位移之差是一恒量，求出傾角θ的表達(dá)式．
（3）物體在D點(diǎn)重力和電場(chǎng)力平衡，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓弧的軌跡恰好相切于H點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的半徑公式求出F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L．

解答 解：（1）由題意可知 qE=mg，
t=0 到t=1s過(guò)程中，對(duì)物體有：
2mgsinθ-2μmgcosθ=ma               
t=1s到t=2s過(guò)程中物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以
V_B=at₀=2gsinθ-2μgcosθ，其中t₀=1s；
（2）物體在t=2s到t=3s做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
加速度為：a′=2gsinθ，
在t=3s到t=4s做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T(mén)=$\frac{2πm}{qB}$=1s，
剛好完成一周，在t=4s到t=5s繼續(xù)以a'做勻加速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，則
L₂-L₁=a′t₀²，解得：sinθ=$\frac{{L}_{2}-{L}_{1}}{2g}$；
（3）物體運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度為
V_D=V_B+a'•2t₀=6gsinθ-2μg cosθ       
離開(kāi)D點(diǎn)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R，軌跡如圖，
由牛頓第二定律得：qv_DB=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
由幾何關(guān)系可知：$\frac{L}{R}$=tan$\frac{θ}{2}$，
聯(lián)立解得：L=$\frac{g}{π}$（3sinθ-μcosθ）tan$\frac{θ}{2}$；
答：（1）物塊滑動(dòng)到B的速度大小為：2g（sinθ-μcosθ）．
（2）傾角θ的三角函表達(dá)式為sinθ=$\frac{{L}_{2}-{L}_{1}}{2g}$；
（3）F點(diǎn)與H點(diǎn)的間距L為：$\frac{g}{π}$（3sinθ-μcosθ）tan$\frac{θ}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)物體的受力，判斷物體的運(yùn)動(dòng)，物體經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，過(guò)程較復(fù)雜，且與數(shù)學(xué)幾何結(jié)合的比較緊密，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高．