Question

7．如圖所示，在直角坐標平面內，x＜0，y＞0區(qū)域有沿y軸負方向的勻強電場，x＞0，y＜0和x＞0，y＞0的分別有垂直坐標平面向里的勻強磁場Ⅰ和Ⅱ，勻強磁場Ⅰ的磁感應強度為B₀．一質量為m、電量為q（q＞0）的粒子，從點P（-$2\sqrt{3}a$，a）開始運動，初速度平行于x軸向右、大小為v₀，粒子恰好從坐標原點O進入勻強磁場Ⅰ，此后粒子恰好不再穿過y軸，不計粒子重力．求：
（1）勻強電場的場強大小E；
（2）勻強磁場Ⅱ的磁感應強度B；
（3）若粒子能通過x軸上的Q點，求粒子過Q點時的速度方向及OQ間的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子做類平拋運動，運用運動的合成和分解，牛頓第二定律結合運動學規(guī)律求解即可；
（2）運用動能定理求出粒子從O點射入磁場時的速度大小，再利用平行四邊形定則確定其方向，粒子在兩個磁場中均做勻速圓周運動，運用洛倫茲力提供向心力結合粒子恰好不穿過y軸的臨界幾何關系，即可求出磁感應強度B的大��；
（3）分析可知若粒子能通過x軸上的Q點，存在兩種情況，畫出兩種情況的粒子軌跡過程圖，利用幾何關系即可求出粒子過Q點時的速度方向及OQ間的距離．

解答 解：（1）設粒子在電場中運動時間為t，粒子在電場中做類平拋運動，
根據類平拋規(guī)律有：
x方向：$2\sqrt{3}a={v_0}t$
y方向：$a=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t^2}$
聯立兩式可得：$E=\frac{{m{v_0}^2}}{6qa}$
（2）設粒子通過坐標原點O時速度大小為v，
由 $qEa=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得：$v=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{v_0}$
速度方向為與x軸正向夾角為30°
粒子在勻強磁場Ⅰ中做勻速圓周運動：$qv{B_0}=m\frac{v^2}{r_1}$
可得：${r_1}=\frac{mv}{{q{B_0}}}=\frac{{2\sqrt{3}m{v_0}}}{{3q{B_0}}}$
粒子在勻強磁場Ⅱ中做勻速圓周運動：$qvB=m\frac{v^2}{r_2}$
可得：${r_2}=\frac{mv}{qB}$
由粒子恰好不穿過y軸，根據幾何關系得：r₂+r₂sin30°=2r₁sin30°
聯立解得：$B=\frac{3}{2}{B_0}$
（3）由幾何關系可知：粒子過Q點時速度方向與x正半軸方向夾角為30°（可能斜向下，也可能斜向上）

①粒子斜向下通過x軸上的Q點時，OQ間的距離：$\overline{OQ}=n（2{r_1}sin{30°}-2{r_2}sin{30°}）=\frac{{n{r_1}}}{3}$
$\overline{OQ}=\frac{{2\sqrt{3}nm{v_0}}}{{9q{B_0}}}$ （其中n=1，2，3…）

②粒子斜向上通過x軸上的Q點時，OQ間的距離：$\overline{OQ}=n（2{r_1}sin{30°}-2{r_2}sin{30°}）+2{r_1}sin{30°}$
$\overline{OQ}=\frac{{2\sqrt{3}（n+3）m{v_0}}}{{9q{B_0}}}$ （其中n=0，1，2，3…）
答：（1）勻強電場的場強大小E為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{6qa}$；
（2）勻強磁場Ⅱ的磁感應強度為$\frac{3}{2}{B}_{0}$；
（3）若粒子能通過x軸上的Q點，粒子過Q點時的速度方向為與x正半軸方向夾角為30°（可能斜向下，也可能斜向上），OQ間的距離為$\frac{2\sqrt{3}nm{v}_{0}}{9q{B}_{0}}$（其中n=1，2，3…）或者$\frac{2\sqrt{3}（n+3）m{v}_{0}}{9q{B}_{0}}$（其中n=0，1，2，3…）．

點評 本題考查帶電粒子在復合場中的運動，解題關鍵是要畫出粒子軌跡過程圖，明確每一個過程的運動形式，選擇合適的規(guī)律解決問題，對數學幾何能力要求較高，同學們要注意分析從電場進入磁場I以及從磁場I進入磁場II銜接點的速度大小和方向．本題的難點在于要分析出第三問存在多解．