Question

17．如圖所示，傾角為30°的光滑斜面和光滑水平面AB平滑連接，在水平面B點(diǎn)右側(cè)有一管形軌道，由一系列豎直光滑圓形軌道和動摩擦因數(shù)為0.3的水平粗糙軌道組成，圓形軌道的半徑R=0.05m，C、D、E…等為圓形軌道和水平軌道的切點(diǎn)，其中AB=BC=CD=DE=…=4R，完全相同的物塊a、b質(zhì)量均為m=0.1kg，物塊b靜止在B點(diǎn)，物塊a從斜面上距水平面高度為h=0.2的位置靜止釋放，以后的運(yùn)動過程中，物塊a、b的碰撞為彈性正碰，碰撞過程時間不計(jì)，物塊進(jìn)入管形軌道時無能量損失，物塊稍小于管道內(nèi)徑，但遠(yuǎn)小于圓心軌道的半徑，g=10m/s²，求：

（1）物塊a釋放后運(yùn)動的總時間；
（2）物塊b最終所停位置與C點(diǎn)的距離；（結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留兩位）
（3）若使物塊b最終停在DE的中點(diǎn)，則物塊a需的斜面上距水平面多高的位置釋放．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用動能定理可以求出物塊a到達(dá)A點(diǎn)的速度，碰撞過程系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒，應(yīng)用動量守恒定律與機(jī)械能守恒定律求出碰撞后a、b的速度，然后求出運(yùn)動時間．
（2）求出物塊b在C、D點(diǎn)的動能，判斷物塊b的運(yùn)動過程，然后求出物塊b最終停止位置到C點(diǎn)的距離．
（3）根據(jù)物塊的運(yùn)動過程應(yīng)用動能定理可以求出釋放點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）物塊a由靜止釋放運(yùn)動至A點(diǎn)過程，
由動能定理得：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}$，又：$\frac{h}{sin30°}=\frac{0+v}{2}{t_1}$，
解得：v=2m/s，t₁=0.4s，
物塊a在水平面AB段運(yùn)動時間：t₂=$\frac{4R}{v}$=$\frac{4×0.05}{2}$=0.1s，
物塊a、b碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：mv=mv_a+mv_b
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv=\frac{1}{2}mv_a^2+\frac{1}{2}mv_b^2$，
解得：v_a=0，v_b=2m/s，
即碰撞過程物塊a、b交換速度，碰后物塊a靜止不動，
因此運(yùn)動總時間：t=t₁+t₂=0.4+0.1=0.5s；
（2）碰后物塊b在C點(diǎn)的動能：E_KC=$\frac{1}{2}$mv_b²-μmg•4R，
解得：E_KC=0.14J＞mg•2R=0.1J，故b能運(yùn)動至c點(diǎn)右邊，
物塊b在D點(diǎn)動能：E_KD=E_KC-μmg•4R，解得：E_KD=0.08J＜mg•2R=0.1J，
故物塊b最終停在C、D之間，又：E_KD=μngx，解得：x≈0.27mx-4R=0.07m，
即物塊b最終停在C點(diǎn)右側(cè)0.07m處；
（3）使物塊b停在DE中點(diǎn)需在D點(diǎn)的動能為：
E_KD'=μmg•（2R+n•4R）（n=1.2.3…），
另外還需滿足條件：$mg•2R＜E_{kD}^'＜μmg•4R+mg•2R$
同時滿足以上兩點(diǎn)，只能是n=2，即：$E_{kD}^'=μmg•10R=0.15J$
則碰后物塊b動能應(yīng)為：$E_{kB}^'=E_{kD}^'+μmg•8R=0.27J$
因碰撞過程物塊a、b交換速度，則碰前物塊a的動能：$E_{kA}^'=E_{kB}^'=0.27J$
由$mgH=E_{ka}^'$，解得：H=0.27m；
答：（1）物塊a釋放后運(yùn)動的總時間為0.5s；
（2）物塊b最終所停位置與C點(diǎn)的距離為：0.07m；
（3）若使物塊b最終停在DE的中點(diǎn)，則物塊a需的斜面上距水平面0.27m高的位置釋放．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理的應(yīng)用，分析清楚物塊的運(yùn)動過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動能定理可以解題，解題時要注意各種可能性的討論，否則會出現(xiàn)錯誤．