Question

13．如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內(nèi)建立xoy坐標(biāo)系，在第Ⅱ象限內(nèi)有平行于桌面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向與x軸負(fù)方向的夾角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板C₁、C₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩板右端在y軸上，板C₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為l₁=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x 軸放置一豎直平板C₃，垂足為Q，Q、O相距d₂=0.18m，板C₃長(zhǎng)l₂=0.6m．現(xiàn)將一帶負(fù)電的小球從桌面上的P點(diǎn)以初速度v₀=2$\sqrt{2}$m/s垂直于電場(chǎng)方向射出，剛好垂直于x軸穿過(guò)C₁板上的M孔，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域．已知小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P點(diǎn)與小孔M在垂直于電場(chǎng)方向上的距離為s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考慮空氣阻力．

求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；
（2）要使帶電小球無(wú)碰撞地穿出磁場(chǎng)并打到平板C₃上，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍；
（3）以小球從M點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)開(kāi)始計(jì)時(shí)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間呈周期性變化，規(guī)定豎直向上為磁感強(qiáng)度的正方向，如圖乙所示，則小球能否打在平板C₃上？若能，求出所打位置到Q點(diǎn)距離；若不能，求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．（$\sqrt{3}$=1.73，計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的速度，作出粒子在磁場(chǎng)中的臨界運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系和半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）根據(jù)半徑公式和周期公式求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，由磁場(chǎng)的周期得出小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，以及得出在一個(gè)磁場(chǎng)周期內(nèi)小球在x軸方向的位移，判斷能否打在平板C₃上，若能打在平板C₃上，通過(guò)幾何關(guān)系求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)有：
v₀t=s
at=v₀tanθ
由牛頓第二定律有：qE=ma
代入據(jù)解得：E=$2\sqrt{2}N/C$．
（2）設(shè)小球通過(guò)M點(diǎn)時(shí)的速度為v，
由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}m/s$=4m/s，
小球垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入兩板間做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖，由牛頓第二定律有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：B=$\frac{mv}{qR}$
小球剛好能打到Q點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)設(shè)為B₁．此時(shí)小球的軌跡半徑為R₁，由幾何關(guān)系有：
$\frac{{R}_{1}}{{l}_{1}+vd5bfz1_{2}-{R}_{1}}$=$\frac{{l}_{1}-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
代入數(shù)據(jù)解得：${B}_{1}=\frac{1}{2}T$．
小球剛好不與C₂板相碰時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度最小設(shè)為B₂，此時(shí)粒子的軌跡半徑為R₂，由幾何關(guān)系有：
R₂=d₁，
代入數(shù)據(jù)解得：${B}_{2}=\frac{1}{3}T$．
綜合得磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍：$\frac{1}{3}T≤B≤\frac{1}{2}T$
（3）小球進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為為R₃，周期為T(mén)有：
${R}_{3}=\frac{mv}{q{B}_{3}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：R₃=0.09m．
$T=\frac{2π{R}_{3}}{v}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T=$\frac{9π}{200}$．
由磁場(chǎng)周期${T}_{0}=\frac{2}{3}T$得小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖
可得：一個(gè)磁場(chǎng)周期內(nèi)小球在x軸方向的位移為3R₃
由分析知有：l₁=（3n+2）R₃，n=2
則小球能打在平板C₃上，設(shè)位置到Q點(diǎn)距離為h有：
h=2（n+1）R₃cosβ-R₃，
解得：h=$3\sqrt{3}{R}_{3}-{R}_{3}$=0.38m．
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為$2\sqrt{2}N/C$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為$\frac{1}{3}T≤B≤\frac{1}{2}T$；
（3）小球能打在平板C₃上，軌跡與平板C₃間的最短距離為0.38m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解，難度較大．