Question

4．如圖所示，豎直放置的光滑金屬導(dǎo)軌，兩軌間距為L，導(dǎo)軌足夠長．上端接有阻值為R的電阻，其它電阻忽略不計(jì)，整個(gè)裝置處于方向垂直導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)使質(zhì)量為m、電阻為r的金屬桿貼著導(dǎo)軌讓其從AB位靜止起下落，下落過程桿與導(dǎo)軌始終保持良好接觸，當(dāng)桿下落到CD位置時(shí)桿開始做勻速運(yùn)動(dòng)．已知桿從AB位置到CD位置的過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q，求：
（1）金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）位置AB到CD的高度差h．

Answer 1

分析 （1）金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)安培力與重力二力平衡，由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，再由平衡條件求出速度．
（2）根據(jù)能量守恒定律求解位置AB到CD的高度差h．

解答 解：（1）設(shè)金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v．
則金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BLv
 感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{R+r}$
根據(jù)平衡條件得：mg=BIL
聯(lián)立解得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）桿從AB位置到CD位置的過程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則金屬桿產(chǎn)生的焦耳熱 Q′=$\frac{r}{R}Q$
根據(jù)能量守恒定律得
  mgh=Q+Q′+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)的速度是$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）位置AB到CD的高度差h是$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要正確分析導(dǎo)體棒的受力情況，熟練運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式，推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，再由平衡條件研究．