Question

17．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧豎直固定在地面上，上面連接一個質(zhì)量為m的物體A，平衡時彈簧壓縮量為x₀．在物體A正上方4.5x₀處有一個質(zhì)量為2m的物體B自由下落后，與A物體粘連并以相同的速度運動．假如彈簧始終在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈性勢能E_p=$\frac{1}{2}$kx²（式中k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量），重力加速度為g，不計空氣阻力，A、B均可視為質(zhì)點．求：
（1）A、B碰撞過程中損失的機械能；
（2）兩物體作簡諧運動的振幅；
（3）兩物體共同運動過程中的最大加速度大小；
（4）彈簧的最大彈性勢能E_pm．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒可求得B物體碰前的速度，再由動量守恒定律可求得碰后共同的速度；則可求得機械能的損失量；
（2）先求得平衡位置，再根據(jù)機械能守恒定律求得最大壓縮量，則可求得振幅；
（3）當振幅達最大時，加速度最大，由牛頓第二定律可求得加速度；
（4）由彈簧的彈性勢能公式可求得彈簧的最大彈性勢能．

解答 解：（1）根據(jù)機械能守恒得：
mgh=$\frac{1}{2}m$${v}_{0}^{2}$
物體m₂碰撞前的速度v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{9gx}$m/s．
設(shè)碰撞后兩物體的速度為v，向下為正方向，則由動量守恒定律得
m₂v₀=（m₁+m₂）v
得到v=$\frac{{{m}_{2}v}_{0}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$=$\frac{2m}{3m}$$\sqrt{90x}$=2$\sqrt{g{x}_{0}}$；
所以碰撞結(jié)束瞬間兩物體的動能之和E_k=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=$\frac{1}{2}×3m$（4gx₀）=6mgx₀；
損失的機械能為：
$\frac{1}{2}$•2mv₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v²=3mgx₀；
（2）由題開始狀態(tài)，平衡時形變量為x₀；
則彈簧的勁度系數(shù)k=$\frac{F}{{x}_{1}}$=$\frac{mg}{{x}_{0}}$
碰撞后，當兩物體的重力與彈力平衡時，
彈簧被壓縮的長度x₂=$\frac{（{{m}_{1}+m}_{2}）g}{k}$=3x₀．
當物體到達最底端時，設(shè)下降的高度為h，由機械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$kx₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v²+3mgh=$\frac{1}{2}$k（h+x₀）²
解得：6x₀=h；
則振幅為A=6x₀-2x₀=4x₀；
（3）當達最大振幅時，加速度最大；此時合力F=k×6x₀-3mg=3mg；
故最大加速度a=$\frac{3mg}{3m}$=g；
（4）達最大振幅時，彈性勢能最大，最大值為：
E_Pm=$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$×$\frac{mg}{{x}_{0}}$×（6x₀）²=18mgx₀；
答：（1）A、B碰撞過程中損失的機械能為3mgx₀
（2）兩物體作簡諧運動的振幅為3x₀；
（3）兩物體共同運動過程中的最大加速度大小為g；
（4）彈簧的最大彈性勢能E_pm為18mgx₀．

點評 本題考查動量守恒、機械能守恒定律及簡諧運動規(guī)律，要注意正確分析物理過程，明確由于碰撞時間很短，碰撞過程動量守恒；同時注意各過程中物理規(guī)律的正確應(yīng)用．