Question

圖中虛線為相鄰兩個勻強磁場區(qū)域1和2的邊界，兩個區(qū)域的磁場方向相反且都垂直于紙面，磁感應(yīng)強度大小都為B，兩個區(qū)域的高度都為l．一質(zhì)量為m、電阻為R、邊長也為l的單匝矩形導(dǎo)線框abcd，從磁場區(qū)上方某處豎直自由下落，ab邊保持水平且線框不發(fā)生轉(zhuǎn)動．當ab邊剛進入?yún)^(qū)域1時，線框恰開始做勻速運動；當線框的ab邊下落到區(qū)域2的中間位置時，線框恰又開始做勻速運動．求：
（1）當ab邊剛進入?yún)^(qū)域1時做勻速運動的速度v₁；
（2）當ab邊剛進入磁場區(qū)域2時，線框的加速度的大小與方向；
（3）線框從開始運動到ab邊剛要離開磁場區(qū)域2時的下落過程中產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）由題意，ab邊剛進入?yún)^(qū)域1時，線框恰開始做勻速運動，重力與安培力平衡，由安培力表達式和平衡條件結(jié)合，求解速度v₁；
（2）當ab邊剛進入磁場區(qū)域2時，速度為v₁，由安培力表達式求出此時的安培力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度；
（3）當線框的ab邊下落到區(qū)域2的中間位置時，線框又開始做勻速運動，此時安培力又與重力平衡，再由安培力表達式和平衡條件結(jié)合求出此時線框的速度v₂，線框從開始運動到ab邊剛要離開磁場區(qū)域2時的下落過程中，機械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求熱量Q．

解答：解：（1）ab邊剛進入?yún)^(qū)域1時，線框恰開始做勻速運動，重力與安培力平衡，則有
   mg=BIl，
又I=

E

R

=

Blv1

R

聯(lián)立得 mg=

B2l2v1

R

  ①
得 v₁=

mgR

B2l2

（2）當ab邊剛進入磁場區(qū)域2時，ab和cd兩邊都切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中感應(yīng)電動勢為E′=2Blv₁，感應(yīng)電流為I′=

E′

R

，線框所受的安培力大小為
  F_安=2BI′l=

4B2l2v1

R

 ②
由①②得：F_安=4mg
根據(jù)牛頓第二定律得：F_安-mg=ma
解得，a=3g，加速度方向豎直向上．
（2）當線框的，ab邊下落到區(qū)域2的中間位置時，線框又開始做勻速運動，設(shè)此時線框的速度為v₂，安培力為F_安′=

4B2l2v2

R

則由平衡條件得：mg=F_安′=

4B2l2v2

R

，③
由①③得v₂=

1

4

v1
線框從開始運動到ab邊剛要離開磁場區(qū)域2時的下落過程中，械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒得
   Q=2mgl-（

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

）
聯(lián)立解得，Q=2mgl+

15m3g2R2

32B4l4

答：
（1）當ab邊剛進入?yún)^(qū)域1時做勻速運動的速度v₁為

mgR

B2l2

（2）當ab邊剛進入磁場區(qū)域2時，線框的加速度的大小為3g，加速度方向豎直向上．
（3）線框從開始運動到ab邊剛要離開磁場區(qū)域2時的下落過程中產(chǎn)生的熱量Q為2mgl+

15m3g2R2

32B4l4

．

點評：本題是電磁感應(yīng)與力學知識的綜合，關(guān)鍵是安培力的分析和計算，運用牛頓第二定律、平衡條件及電磁感應(yīng)知識結(jié)合進行研究即可．