Question

5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第一象限存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場E，第四象限存在一勻強(qiáng)磁場B₁，第三象限存在一勻強(qiáng)磁場B₂，一帶負(fù)電粒子，從y軸上一點(diǎn)p（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）沿x軸正方向射出，一段時間后經(jīng)x軸上點(diǎn)M（3，0）進(jìn)入第四象限，經(jīng)點(diǎn)N（0，-3）穿過y軸，已知粒子在p點(diǎn)初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子比荷$\frac{q}{m}$=3×10⁶C/Kg，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度；
（2）勻強(qiáng)磁場B₁的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）若y軸上在-2≤y≤-1區(qū)域有一彈性擋板，不考慮粒子與擋板碰撞的能量、比荷的變化，若要粒子從N點(diǎn)僅從第三象限運(yùn)動到坐標(biāo)原點(diǎn)O，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的可能值有哪些：

Answer 1

分析 （1）由類平拋運(yùn)動的橫向、縱向分位移聯(lián)立求解即可；
（2）由（1）求得粒子在磁場中運(yùn)動的速度及進(jìn)入磁場時的方向，再根據(jù)圓弧的對稱性及幾何關(guān)系求得粒子運(yùn)動的半徑，進(jìn)而由洛倫茲力作為向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）由（2）的到粒子進(jìn)入磁場的速度和方向，再根據(jù)幾何關(guān)系求得弦長及半徑，聯(lián)立洛倫茲力作向心力即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）粒子在第一象限內(nèi)只受電場力作用，做類平拋運(yùn)動，粒子運(yùn)動加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{q}{m}E$，
所以，根據(jù)類平拋運(yùn)動的橫向位移和縱向位移，有$\left\{\begin{array}{l}{3={v}_{0}t=2×1{0}^{6}t}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{q}{2m}E{t}^{2}=\frac{3}{2}×1{0}^{6}E{t}^{2}}\end{array}\right.$；
所以，$E=\frac{\sqrt{3}×1{0}^{-6}}{{t}^{2}}=\frac{\sqrt{3}×1{0}^{-6}}{（\frac{3}{2}×1{0}^{-6}）^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}V/m$；
（2）粒子進(jìn)入第四象限時的速度v可由（1）得：v的水平分量${v}_{x}={v}_{0}=2×1{0}^{6}m/s$，豎直分量${v}_{y}=\frac{qE}{m}t=3×1{0}^{6}×\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}×\frac{3}{2×1{0}^{6}}m/s$=$2\sqrt{3}×1{0}^{6}m/s$，
所以，v=4×10⁶m/s，v與x軸正方向成60°，所以，如下圖所示，粒子在第四象限運(yùn)動的圓心在l₁上，連接MN，做MN的中垂線l₂，
l₁，l₂的交點(diǎn)O′就是粒子在第四象限做圓周運(yùn)動的圓心，由幾何關(guān)系可知，粒子運(yùn)動的半徑$R=2×\frac{3}{1+\sqrt{3}}=3（\sqrt{3}-1）m$，

由粒子在第四象限中做圓周運(yùn)動，洛倫茲力做向心力，所以有${B}_{1}vq=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以，${B}_{1}=\frac{mv}{qR}=\frac{4×1{0}^{6}}{3×1{0}^{6}×3（\sqrt{3}-1）}=\frac{2}{9}（\sqrt{3}+1）T$；
（3）粒子在第三象限中只受洛倫茲力，做圓周運(yùn)動，由圓弧的對稱性可知，磁場邊界y軸為一條直線，所以，粒子在第三象限運(yùn)動軌跡的各圓弧相同，
因為擋板在-2≤y≤-1區(qū)域上，所以，粒子運(yùn)動的弦長不小于1m，所以，粒子運(yùn)動的弦長可謂3m，1.5m，1m；
設(shè)弦長為L，由（2）可知，O′N與y軸的夾角為30°，所以，如圖所示

粒子在第三象限運(yùn)動的半徑$R′=\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$；
由洛倫茲力作向心力，可得：${B}_{2}vq=\frac{m{v}^{2}}{R′}$，
所以，${B}_{2}=\frac{mv}{qR′}=\frac{4×1{0}^{6}}{3×1{0}^{6}}×\frac{\sqrt{3}}{L}=\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{L}T$；
所以磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂可能為$\frac{4\sqrt{3}}{9}T，\frac{8\sqrt{3}}{9}T，\frac{4\sqrt{3}}{3}T$．
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為$\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}V/m$；
（2）勻強(qiáng)磁場B₁的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{2}{9}（\sqrt{3}+1）T$；
（3）若y軸上在-2≤y≤-1區(qū)域有一彈性擋板，不考慮粒子與擋板碰撞的能量、比荷的變化，若要粒子從N點(diǎn)僅從第三象限運(yùn)動到坐標(biāo)原點(diǎn)O，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的可能值有$\frac{4\sqrt{3}}{9}T，\frac{8\sqrt{3}}{9}T，\frac{4\sqrt{3}}{3}T$．

點(diǎn)評 在求帶電粒子在磁場中的運(yùn)動問題時，要注意利用用幾何關(guān)系，尤其是對稱關(guān)系，求得粒子運(yùn)動半徑，在聯(lián)立洛倫茲力作向心力來求解．