Question

6．如圖甲所示，在圓形水池正上方，有一半徑為r的圓形儲水桶．水桶底部有多個沿半徑方向的水平小孔，小孔噴出的水在水池中的落點離水池中心的距離為R，水桶底部與水池水面之間的高度差是h．為了維持水桶水面的高度不變，用水泵通過細水管將灑落的水重新抽回到高度差為H的水桶上方．水泵由效率為η₁的太陽能電池板供電，電池板與水平面之間的夾角為α，太陽光豎直向下照射（如圖乙所示），太陽光垂直照射時單位時間、單位面積接受的能量為E₀．水泵的效率為η₂，水泵出水口單位時間流出水的質(zhì)量為m₀，流出水流的速度大小為v₀（不計水在細水管和空氣中運動時所受的阻力）．求：
（1）水從小孔噴出時的速度大��；
（2）水泵的輸出功率；
（3）為了使水泵的工作能維持水面的高度不變，太陽能電池板面積的最小值S．

Answer 1

分析 （1）由題意可知水做平拋運動的水平位移及豎直高度，則由平拋運動規(guī)律可得出水從小孔中噴出的速度；
（2）由功能關(guān)系可求得水泵做的功，由功率公式可求得功率；
（3）由太陽能及水泵在轉(zhuǎn)化中的效率可求得實際需要的太陽能量，則可求得太陽能的電池板面積的最小值．

解答 解：（1）水從小孔噴出時速度沿水平方向，只受重力作用，做平拋運動，設(shè)水噴出時的速度大小為v，有：
R-r=vt
h=$\frac{1}{2}$gt²；
水噴出的速度為：v=$\frac{（R-r）\sqrt{2gh}}{2h}$；
（2）水泵做功，既改變水的勢能，又改變水的動能．由功能關(guān)系得：
Pt=m₀tgh+$\frac{1}{2}$m₀tv₀²；
功率為：P=m₀gh+$\frac{1}{2}$m₀v₀²．
（3）考慮單位時間內(nèi)的能量轉(zhuǎn)化及利用效率，太陽能電池板接收太陽能的其中一部分轉(zhuǎn)變成電能E₁，電能通過水泵將其中的部分轉(zhuǎn)變成水的勢能與動能E₂，有：
E₁=η₁E₀cosθ
E₂=η₂E₁
E₂=m₀gH+$\frac{1}{2}$m₀v₀²
解得最小面積為：S=$\frac{{m}_{0}gH+\frac{1}{2}{{m}_{0}v}_{0}^{2}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$；
答：（1）水從小孔噴出時的速度大小為$\frac{（R-r）\sqrt{2gh}}{2h}$；
（2）水泵的輸出功率為m₀gh+$\frac{1}{2}$m₀v₀²．；
（3）為了使水泵的工作能維持水面的高度不變，太陽能電池板面積的最小值S$\frac{{m}_{0}gH+\frac{1}{2}{{m}_{0}v}_{0}^{2}}{{η}_{1}{η}_{2}{E}_{0}cosα}$．

點評 本題根據(jù)生活中的例子考查功能的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于明確題意，從而構(gòu)建出我們所熟知的物理模型，則可輕松解決本題．