Question

11．一個(gè)宇航員到達(dá)某一行星后，在該行星表面上做了如下實(shí)驗(yàn)．如圖，在豎直平面內(nèi)有一端固定的光滑軌道，其中AB是光滑的水平直軌道，BC是圓心為O，半徑為R的半圓軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，一小球從A點(diǎn)以初速度v₀開(kāi)始做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后沖上圓弧軌道，已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)C，已知該星球的半徑為R₁，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量M；
（2）如果要在該行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，求發(fā)射衛(wèi)星的最小速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式求行星表面的重力加速度，再由重力等于萬(wàn)有引力列式求出行星的質(zhì)量
（2）根據(jù)重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度，即發(fā)射衛(wèi)星的最小速度

解答 解：（1）從A到C根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}①$
在最高點(diǎn)有：$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$②
聯(lián)立①②得$g=\frac{{v}_{0}^{2}}{5R}$③
行星表面的物體重力等于萬(wàn)有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{1}^{2}}$④
解得行星的質(zhì)量：$M=\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$
（2）在該行星上發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，即第一宇宙速度$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{g{R}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量M為$\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{2}}{5RG}$；
（2）如果要在該行星上發(fā)射一顆衛(wèi)星，發(fā)射衛(wèi)星的最小速度$\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}{R}_{1}^{\;}}{5R}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用，難度適中．